Problem 3 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

Gegeben sei die lineare Differentialgleichung $$ y^{\prime}=-2 \cdot y \cdot \cos x+\cos x $$ a) Bestimmen Sie alle Lösungen mit der Methode der Variation der Konstanten. b) Raten Sie eine (möglichst einfache) partikuläre Lösung \(y_{0}(x)\) und bestimmen Sie sodann alle Lösungen mit Hilfe von Satz \(2.2\).

Step-by-Step Solution

Answer

All solutions are given by \( y = Ce^{-2\sin x} + \frac{1} {2\cos x} \)

Step 1: General Solution of the Homogeneous Equation

Consider the homogeneous part of the differential equation: \[ y^{\text{'}h}=-2 \cdot y \cdot \cos x \] This is a separable differential equation. Rearrange: \[ \frac{dy}{dx} = -2y \cos x \Rightarrow \frac{dy}{y} = -2\cos x dx \] Integrate both sides: \[ \int \frac{1}{y} dy = \int -2 \cos x dx \] This yields: \[ \ln |y| = -2\sin x +C \rightarrow y_{h} = Ce^{-2 \sin x} \]

Step 2: Variation of Constants

Use the method of variation of constants. Assume the solution of the form: \[ y = C(x) e^{-2\sin x} \] Substitute into the original differential equation and solve for \( C(x) \): \[ y^{\text{'}} = C^{\text{'}}e^{-2\sin x} + C e^{-2 \sin x} (-2 \cos x) \] Given the differential equation: \[ y^{\text{'}} =-2 \cdot y \cdot \cos x+ \cos x \] Substitute \( y \) and \( y^{\text{'}} \): \[ C^{\text{'}} e^{-2\sin x} = \cos x \rightarrow C^{\text{'}} = e^{2\sin x} \cdot \cos x \] Integrate: \[ C = \int e^{2\sin x} \cdot \cos x dx \] Define an antiderivative as: \[ \ int e^{2\sin x} \cdot \cos x dx = e^{2 \sin x} +C_1 \] Hence, the particular solution: \[ y = e^{2\sin x}e^{-2\sin x} +Ce^{-2 \sin x} = 1 +Ce^{-2 \sin x} \]

Step 3: Guessing a Particular Solution

Guess a particular simple solution. Notice the non-homogeneous term \( \cos x \): Suppose \( y_0 \) is a constant (the simplest non-zero guess). If \( y_0 \) is to balance the equation, let’s test \( y_{0} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos x} = \frac{1} {2\cos x} \).

Step 4: Using Theorem 2.2 to Find General Solution

Based on theorem 2.2, the general solution combines the homogeneous and particular solutions: \[ y = y_h + y_0 = Ce^{-2 \ sin x} + \displaystyle \frac{1} {2\cos x} \]}, {

Key Concepts

lineare Differentialgleichungen

Lineare Differentialgleichungen sind eine Art von Differentialgleichungen, bei denen die unbekannte Funktion und ihre Ableitungen linear vorkommen. In unserem Fall lautet die gegebene lineare Differentialgleichung:
\( y^{\text{'}} = -2 \cdot y \cdot \cos x + \cos x \).
Diese Gleichung ist besonders nützlich in vielen naturwissenschaftlichen und technischen Anwendungen, da sie oft physikalische Systeme modelliert.
Der erste Schritt zur Lösung dieser Gleichung beinhaltet das Umformen und Lösen der homogenen Gleichung, die dieselbe Struktur hat, jedoch ohne den konstanten Term auf der rechten Seite.

homogene Differentialgleichungen

Eine homogene Differentialgleichung enthält keine zusätzlichen Terme, nur die Funktion selbst und ihre Ableitungen. Die homogene Version unserer Gleichung lautet:
\( y^{\text{'}}_h = -2 \cdot y \cdot \cos x \).
Diese Gleichung ist separierbar, was bedeutet, dass wir die Variablen trennen können, so dass alle Terme mit \( y \) auf der einen und alle Terme mit \( x \) auf der anderen Seite stehen:
\[ \frac{dy}{y} = -2 \cos x dx \].
Durch Integration beider Seiten erhalten wir:
\[ \ln |y| = -2 \sin x + C \].
Um die Lösung für \( y \) zu finden, lösen wir auf durch Exponentiation:
\[ y_h = Ce^{-2 \sin x} \].

separable Differentialgleichungen

Eine besondere Klasse der Differentialgleichungen sind separierbare Differentialgleichungen. Diese lassen sich so umformen, dass alle termerhaltenden Variablen getrennt und integriert werden können. In unserem Beispiel ist die Gleichung:
\( \frac{dy}{dx} = -2y \cos x \),
die durch Trennen der Variablen zu:
\( \frac{dy}{y} = -2 \cos x \, dx \).
Die Integration beider Seiten ergibt:
\[ \int \frac{1}{y} dy = \int -2 \cos x \, dx \],
was zu:
\[ \ln|y| = -2 \sin x + C \]
führt. Durch Exponentiation erhalten wir die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:
\[ y_h = Ce^{-2 \sin x} \].
Diese Lösung bildet die Grundlage für die Methode der Variation der Konstanten.

Variation der Konstanten

Die Methode der Variation der Konstanten wird verwendet, um die allgemeine Lösung einer nicht-homogenen Differentialgleichung zu finden. Wir gehen von der bekannten Lösung der homogenen Gleichung aus, und lassen die Konstante \( C \) als Funktion von \( x \) variieren. Für unsere Gleichung nehmen wir an:
\( y = C(x) \cdot e^{-2 \sin x} \).
Substituiert man dies in die ursprüngliche Differentialgleichung, so erhält man:
\( y^{\text{'}} = C^{\text{'}} e^{-2 \sin x} + C e^{-2 \sin x} (-2 \cos x) \).
Durch Vergleich mit der Originalgleichung können wir \( C(x) \) finden:
\( C^{\text{'}} e^{-2 \sin x} = \cos x \).
Dies führt zu:
\[ C = \int e^{2 \sin x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^{2 \sin x} + C_1 \].
Die allgemeine Lösung ergibt sich dann aus der Summe der Lösungen der homogenen und nicht-homogenen Gleichung.

Integration

Integration ist ein zentraler Bestandteil bei der Lösung von Differentialgleichungen. Beim Lösen der homogenen sowie der nicht-homogenen Gleichung spielt die Integration eine wichtige Rolle. Für die homogene Gleichung:
\[ \int \frac{1}{y} \, dy = \int -2 \cos x \, dx \]
führt zur Lösung:
\[ \ln |y| = -2 \sin x + C \].
Analog wird bei der Variation der Konstanten die Integration benötigt, um \( C(x) \) zu bestimmen:
\[ C = \int e^{2 \sin x} \cos x \, dx \].
Die Integrationstechniken und das Verständnis ihrer Anwendung sind grundlegend, um vollständige Lösungen von Differentialgleichungen zu finden.
Im Allgemeinen bilden das Lösen durch Trennen der Variablen und die Methode der Variation der Konstanten zusammen die Verfahren zum Umgang mit linear nicht-homogenen Differentialgleichungen.