Problem 1 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

a) Lösen Sie das Anfangswertproblem $$ y^{\prime}=\frac{\sin y}{x}, \quad y\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{2}, \quad x>0 $$ durch Trennen der Veränderlichen. b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung $$ y^{\prime}=\cos (x+y) $$ durch die Substitution \(z(x)=x+y(x)\) und anschließender Trennung der Veränderlichen.

Step-by-Step Solution

Answer

a) \(\csc y - \cot y = 2x\)b) \(y = 2\tan^{-1}(2x + C) - x\)

Step 1 - Identify Variables for Separation

Rewrite the differential equation in the form where all terms involving y are on one side of the equation and all terms involving x are on the other side. The given equation is: \[ y' = \frac{\sin y}{x} \]

Step 2 - Separate Variables

Separate the variables y and x: \[ \frac{dy}{\sin y} = \frac{dx}{x} \]

Step 3 - Integrate Both Sides

Integrate both sides with respect to their respective variables: \[ \int \frac{1}{\sin y} \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx \] Using the integral identities, the equations become: \[ \int \csc y \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx \] \[ \ln |\csc y - \cot y| = \ln |x| + C \]

Step 4 - Apply Initial Condition

Given the initial condition, \( y(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{2} \), substitute \( x = \frac{1}{2} \) and \( y = \frac{\pi}{2} \) into the integrated equation: \[ \ln |\csc(\frac{\pi}{2}) - \cot(\frac{\pi}{2})| = \ln |\frac{1}{2}| + C \] Since \( \csc(\frac{\pi}{2}) = 1 \) and \( \cot(\frac{\pi}{2}) = 0 \), we get: \[ \ln |1 - 0| = \ln \frac{1}{2} + C \] \[ 0 = \ln \frac{1}{2} + C \] \[ C = -\ln \frac{1}{2} = \ln 2 \]

Step 5 - Solve for y

Combine results to find the general solution: \[ \ln |\csc y - \cot y| = \ln |x| + \ln 2 \] Exponentiate to solve: \[ \csc y - \cot y = 2x \] Finally, solve for y explicitly if needed.

Step 6 - Substitute z

For part b), let \( z = x + y \). Then \( y = z - x \) and differentiating both sides with respect to x gives: \[ y' = z' - 1 \]

Step 7 - Substitute in Original Equation

Substitute \( y' = z' - 1 \) back into the original differential equation: \[ z' - 1 = \cos(z) \] \[ z' = \cos(z) + 1 \]

Step 8 - Separate Variables

Separate variables to solve for z: \[ \frac{1}{\cos z + 1} \, dz = dx \]

Step 9 - Integrate Both Sides

Integrate both sides: \[ \int \frac{1}{1 + \cos z} \, dz = \int dx \] Using the trigonometric identity \(1 + \cos z = 2\cos^2(z/2)\), we can write: \[ \int \frac{1}{2\cos^2(z/2)} \, dz = \int dx \] \[ \int \frac{1}{2} \sec^2(z/2) \, dz = \int dx \] \[ \int \sec^2 (\frac{z}{2}) \, d\left( \frac{z}{2} \right) = 2 \int dx \]

Step 10 - Simplify Integral

Integrate: \[ \tan (\frac{z}{2}) = 2x + C \]

Step 11 - Solve for z and y

Rewriting in terms of z and y: \[ \frac{z}{2} = \tan^{-1}(2x + C) \] \[ z = 2\tan^{-1}(2x + C) \] Since \( z = x + y \), \[ x + y = 2\tan^{-1}(2x + C) \] Isolate y to get the final solution: \[ y = 2\tan^{-1}(2x + C) - x \]

Key Concepts

Trennung der Veränderlichen

Die Methode 'Trennung der Veränderlichen' ist eine einfache Technik zur Lösung von Differentialgleichungen. Hierbei versucht man, die Gleichung so umzuformen, dass alle Terme, die eine Variable enthalten, auf einer Seite stehen, während alle Terme mit der anderen Variable auf der anderen Seite stehen.
Bei dem Anfangswertproblem \( y' = \frac{\sin y}{x} \) ist das Ziel, alle y-Terme auf die linke Seite der Gleichung und alle x-Terme auf die rechte Seite zu bringen:
\( \frac{dy}{\sin y} = \frac{dx}{x} \)
Dies ist der wichtigste Schritt bei der Trennung der Veränderlichen. Damit können wir jede Seite der Gleichung separat integrieren.

Substitution in Differentialgleichungen

Substitution ist eine Technik, bei der man ein kompliziertes Ausdruck durch eine einfachere Variable ersetzt.
In Teil b) des Problems nutzen wir die Substitution \(z=x+y\). Dadurch wird die ursprüngliche Differentialgleichung \( y' = \cos(x+y) \) in eine neue Form umgewandelt.
Differenziere \( z = x + y \) nach x:
\( y' = z' - 1 \)
Wenn dies in die Originalgleichung eingesetzt wird, erhalten wir eine einfachere Gleichung:
\( z' = \cos z + 1 \)
Diese Vereinfachung erlaubt es uns, die Gleichung durch Trennung der Veränderlichen leichter zu lösen.

Integration von Differentialgleichungen

Integration ist der nächste Schritt nach der Trennung der Veränderlichen.
Für das Beispiel \( \int \frac{1}{\sin y} \ dy = \int \frac{1}{x} \ dx \) integrieren wir beide Seiten:
\( \int \csc y \ dy = \int \frac{1}{x} \ dx \)
Nach der Integration und Verwendung der Integrationsregeln erhalten wir:
\( \ln |\csc y - \cot y| = \ln |x| + C \)
Die Integration ist ein wesentlicher Schritt zur Lösung der Differentialgleichung und liefert uns eine allgemeine Lösung der Gleichung.

Anfangsbedingungen anwenden

Anfangsbedingungen sind notwendig, um die spezifische Lösung einer Differentialgleichung aus der allgemeinen Lösung abzuleiten.
In Teil a) der Aufgabe ist die Anfangsbedingung \( y(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{2} \). Diese Bedingung wird in die allgemeine Lösung \( \ln |\csc y - \cot y| = \ln |x| + C \) eingesetzt:
\( \ln |1 - 0| = \ln \frac{1}{2} + C \)
Dies löst das Integral auf und bestimmt den Wert des Integrationskonstanten C.
Diese spezifische Bedingung hilft dabei, den genauen Verlauf der Lösungskurve festzulegen.