Problem 5 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems $$ y^{\prime}=\frac{3}{1+x} \cdot y+3 \cdot(1+x) \quad, \quad y(0)=0 $$

Step-by-Step Solution

Answer

Die Lösung ist: \[ y(x) = (1+x)^2 - \frac{1}{(1+x)^3} \]

Step 1: Schritt 1 - Differentialgleichung erkennen

Erkennen Sie, dass dies eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist: \[ y' = \frac{3}{1+x} \, y + 3 (1+x) \]

Step 2: Schritt 2 - Bestimmen Sie den Integrierenden Faktor

Der integrierende Faktor \( \mu(x) \) wird berechnet aus \( \mu(x) = e^{\int P(x) \ dx} \), wobei \( P(x) = \frac{3}{1+x} \) ist. Daher: \[ \mu(x) = e^{\int \frac{3}{1+x} \, dx} = e^{3 \ln|1+x|} = (1+x)^3 \]

Step 3: Schritt 3 - Multiplizieren Sie die Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem integrierenden Faktor \( (1+x)^3 \): \[ (1+x)^3 \ y' = 3 (1+x)^2 y + 3 (1+x)^4 \]

Step 4: Schritt 4 - Vereinfachen Sie die Gleichung

Erkennen Sie, dass die linke Seite das Ergebnis der Ableitung eines Produkts ist: \[ \frac{d}{dx} \left[ y(1+x)^3 \right] = 3 (1+x)^4 \]

Step 5: Schritt 5 - Integrieren Sie beide Seiten

Integrieren Sie beide Seiten der Gleichung: \[ \int \frac{d}{dx} \left[ y(1+x)^3 \right] \, dx = \int 3 (1+x)^4 \, dx \] Daraus ergibt sich: \[ y(1+x)^3 = \int 3 (1+x)^4 \, dx = (1+x)^5 + C \]

Step 6: Schritt 6 - Bestimmen Sie die Konstante C

Verwenden Sie den Anfangswert \( y(0) = 0 \), um die Konstante C zu bestimmen: \[ 0 = 1 + C \] Daher: \[ C = -1 \]

Step 7: Schritt 7 - Finden Sie die Lösung

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist daher: \[ y(1+x)^3 = (1+x)^5 - 1 \] Teilen Sie durch \( (1+x)^3 \): \[ y(x) = (1+x)^2 - \frac{1}{(1+x)^3} \]

Key Concepts

lineare Differentialgleichung

Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form ewline \[ y' + P(x) y = Q(x) \] ewline Diese Gleichungen sind besonders, weil sie eine direkte Methode zur Lösung erlauben. Diese Methode basiert auf der Verwendung des integrierenden Faktors.ewline Entscheidend ist, dass die Konzentration auf diese Struktur hilft, die Gleichung systematisch zu bearbeiten. Im gegebenen Beispiel ist die Differentialgleichung ewline \[ y^{\textcolor{#e9724a}'} = \frac{3}{1+x} y + 3(1+x) \].ewline Wir sehen hier, dass ewline \[P(x) = \frac{3}{1+x} \] ewline und ewline \[Q(x) = 3(1+x).ewline \]

integrierender Faktor

Der integrierende Faktor ist ein Schlüsselwerkzeug zur Lösung linearer Differentialgleichungen. Um ihn zu berechnen, verwenden wir die Formel: \[[ \mu(x) = e^{ \int P(x) \ dx } \] .ewline In unserem Fall ist ewline \P(x) = \[ \textcolor{#e9724a} \frac{3}{1+x}, \] ewline alsoewline \[ \mu(x) = e^{\ \int \textcolor{#e9724a} \frac{3}{1+x} dx } = e^{3 \ln|1+x|} = (1+x)^3.\ewline Der Integrierende Faktor hilft uns, beide Seiten der Differentialgleichung präziser zu manipulieren, indem er sie gleichwertig skaliert.\]

Integration

Integration ist der Prozess, durch den wir eine Antiprimitive (Stammfunktion) einer Funktion finden. In der vorliegenden Aufgabe müssen wir die Gleichung \[ \frac{d}{dx} \left[ y(1+x)^3 \right] = 3(1+x)^4 \] \integrieren.ewlineewline Dabei integrieren wir beide Seiten getrennt: ewline \[ \int \frac{d}{dx} \left[ y(1+x)^3 ] dx = \text(color{#009900} \int 3(1+x)^4 dx \] .ewline wird zu \[ \left[ y(1+x)^3 ] = \textcolor{#728f4b} + C \x 5 * (1+x)^5 = +1 \] .ewline Integration ermöglicht es uns, diese komplexen Ausdrücke zu einfacheren, interpretierbaren und umformbaren Funktionen zusammenzufassen.

mathematische Lösungsschritte

Mathematische Lösungsschritte sind der Schlüssel zu jeder Problemlösung in der Mathematik. Wir arbeiten Schritt für Schritt, um sicherzustellen, dass jede Transformation korrekt und nachvollziehbar ist. ewline Hier sind die Schritte zur Lösung der gegebenen Differentialgleichung:ewline

• Identifizieren der linearen Differentialgleichung.
• Berechnen des integrierenden Faktors \[ \mu(x). \]
• Multiplizieren beider Seiten der Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor.
• Vereinfachung der resultierenden Gleichung.
• Integrieren beider Seiten der neuen Gleichung.
• Bestimmen der Integrationskonstante C unter Verwendung des Anfangswerts
  y(0) = 0.
• Finden der allgemeinen Lösung

.Diese Schritte helfen uns dabei, Probleme systematisch und logisch zu lösen und gleichzeitig sicherzustellen, dass jeder Schritt auf dem vorherigen basiert.