Problem 2 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a) \(\quad y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0, \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=0\), b) \(\quad y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\), c) \(\quad y^{\prime \prime}+4 y=0, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 .\)

Step-by-Step Solution

Answer

a) \( y = 2e^t - 2e^{2t} \); b) \( y = t e^{-2t} \); c) \( y = \frac{1}{2} \sin(2t) \)

Step 1 Title - Solve the characteristic equation for (a)

Consider the homogeneous differential equation: \[ y^{\prime \prime} - 3y^{\prime} + 2y = 0 \] The characteristic equation is: \[ r^2 - 3r + 2 = 0 \] Solve this quadratic equation for r.

Step 2 Title - Find the roots for (a)

The characteristic equation \( r^2 - 3r + 2 = 0 \) factors into \( (r - 1)(r - 2) = 0 \). Thus, the roots are: \[ r_1 = 1, \quad r_2 = 2 \]

Step 3 Title - Write the general solution for (a)

The general solution for the differential equation with distinct roots is: \[ y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} \] Substitute the roots: \[ y(t) = C_1 e^t + C_2 e^{2t} \]

Step 4 Title - Apply initial conditions for (a)

Given \( y(0) = 2 \) and \( y^{\prime} (0) = 0 \). First, substitute \( t = 0 \) in the general solution: \[ y(0) = C_1 + C_2 = 2 \] Differentiate the general solution: \[ y^{\prime}(t) = C_1 e^t + 2C_2 e^{2t} \] Substitute \( t = 0 \): \[ y^{\prime}(0) = C_1 + 2C_2 = 0 \]

Step 5 Title - Solve for constants for (a)

Solve the equations: \[ C_1 + C_2 = 2 \] \[ C_1 + 2C_2 = 0 \] By solving, \( C_1 = -2 \) and \( C_2 = 4 \). Thus, the specific solution is: \[ y(t) = 2 e^t - 2e^{2t} \]

Step 6 Title - Solve the characteristic equation for (b)

Consider the homogeneous differential equation: \[ y^{\prime \prime} + 4y^{\prime} + 4y = 0 \] The characteristic equation is: \[ r^2 + 4r + 4 = 0 \] Solve this quadratic equation for r.

Step 7 Title - Find the roots for (b)

The characteristic equation \( r^2 + 4r + 4 = 0 \) factors into: \[ (r + 2)^2 = 0 \] Thus, the roots are: \[ r_1 = -2 \] which is a repeated root.

Step 8 Title - Write the general solution for (b)

Since we have a repeated root, the general solution is: \[ y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{-2t} \]

Step 9 Title - Apply initial conditions for (b)

Given \( y(0) = 0 \) and \( y^{\prime}(0) = 1 \). First, substitute \( t = 0 \) in the general solution: \[ y(0) = C_1 = 0 \] Differentiate the general solution: \[ y^{\prime}(t) = C_2 e^{-2t} + (C_1 + C_2 t)(-2)e^{-2t} \] Substitute \( t = 0 \): \[ y^{\prime}(0) = C_2 + 0 = 1 \]

Step 10 Title - Solve for constants for (b)

Solving the equations, we get \( C_1 = 0 \) and \( C_2 = 1 \). Thus, the specific solution is: \[ y(t) = t e^{-2t} \]

Step 11 Title - Solve the characteristic equation for (c)

Consider the homogeneous differential equation: \[ y^{\prime \prime} + 4y = 0 \] The characteristic equation is: \[ r^2 + 4 = 0 \] Solve this quadratic equation for r.

Step 12 Title - Find the roots for (c)

Solve the characteristic equation \( r^2 + 4 = 0 \). The roots are: \[ r = \pm 2i \] These are complex roots.

Step 13 Title - Write the general solution for (c)

For complex roots \( r = \pm 2i \), the general solution is: \[ y(t) = C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t) \]

Step 14 Title - Apply initial conditions for (c)

Given \( y(0) = 0 \) and \( y^{\prime}(0) = 1 \). First, substitute \( t = 0 \) in the general solution: \[ y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 = 0 \] Differentiate the general solution: \[ y^{\prime}(t) = -2C_1 \sin(2t) + 2C_2 \cos(2t) \] Substitute \( t = 0 \): \[ y^{\prime}(0) = 2C_2 = 1 \]

Step 15 Title - Solve for constants for (c)

Solving the equations, we get \( C_1 = 0 \) and \( C_2 = \frac{1}{2} \). Thus, the specific solution is: \[ y(t) = \frac{1}{2} \sin(2t) \]

Key Concepts

homogene Differentialgleichungen

Beginnen wir mit der Definition einer homogenen Differentialgleichung. Eine Differentialgleichung ist homogen, wenn alle Terme der Gleichung eine Funktion der unbekannten Funktion und ihrer Ableitungen sind und es keinen konstanten Term gibt.
Ein Beispiel für eine homogene Differentialgleichung zweiten Grades ist die gegebene Gleichung: \[ y^{\text{''}} - 3y^{\text{'} } + 2y = 0 \]
Eine solche Gleichung behandelt, wie sich eine Funktion mit ihren eigenen Ableitungen verändert.
Homogene Differentialgleichungen sind wichtig, weil sie oft in der Physik und anderen Wissenschaften vorkommen.

charakteristische Gleichung

Um eine homogene Differentialgleichung zu lösen, verwendet man die charakteristische Gleichung. Diese entsteht, wenn wir die Ableitungen durch Potenzen ersetzen.
Nehmen wir das Beispiel: \[ y^{\text{''} }- 3y^{\text{'} }+ 2y = 0 \], die charakteristische Gleichung lautet dann: \[ r^2 - 3r + 2 = 0 \]
Wir lösen diese quadratische Gleichung, um die Werte von \(r\) zu finden.
In unserem Beispiel finden wir zwei Wurzeln, \(r_1 = 1 \) und \(r_2 = 2\), was bedeutet, dass es zwei Lösungen gibt, die wir zur allgemeinen Lösung zusammensetzen.

anfängliche Bedingungen

Anfängliche Bedingungen sind Bedingungen, die zu einem bestimmten Zeitpunkt bekannt sind, wie etwa Anfangswerte von Funktionen. Durch sie können wir die Konstanten in unserer allgemeinen Lösung bestimmen.
Betrachten wir das Beispiel \[ y^{\text{''}} - 3y^{\text{'} }+ 2y = 0 \], gegeben sind \(y(0) = 2\) und \( y^{\text{'} }(0) = 0 \).
Zunächst substituieren wir \(t = 0\) in die allgemeine Lösung. Damit erhalten wir: \[ y(0) = C_1 + C_2 = 2 \].
Durch Differenzieren der allgemeinen Lösung und Substituieren von \(t = 0\) erhalten wir: \[ y^{\text{'} }(0) = C_1 + 2C_2 = 0 \].
Mit diesen Gleichungen finden wir die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\).

allgemeine Lösung

Die allgemeine Lösung einer homogenen Differentialgleichung ist eine Kombination der Lösungen der charakteristischen Gleichung.
Wenn wir z.B. die Wurzeln \(r_1 = 1\) und \(r_2 = 2\) für die Differentialgleichung \[ y^{\text{''}} - 3y^{\text{'} }+ 2y = 0 \] haben, sieht die allgemeine Lösung so aus: \[ y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} \].
Durch Einsetzen der Wurzeln erhalten wir: \[ y(t) = C_1 e^t + C_2 e^{2t} \]. Diese allgemeine Lösung beinhaltet alle möglichen Lösungen der Differentialgleichung.
Um die speziellen Lösungen für unterschiedliche Anfangsbedingungen zu finden, passen wir die Werte der Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) an.

komplexe Wurzeln

Manchmal ergeben sich aus der charakteristischen Gleichung komplexe Wurzeln. Dies passiert, wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung negativ ist.
Betrachten wir das Beispiel \[ y^{\text{''}} + 4y = 0 \], die charakteristische Gleichung \[ r^2 + 4 = 0 \] ergibt die Wurzeln \( r = \text{±} 2i \).
Für komplexe Wurzeln wird die allgemeine Lösung in Form von Sinus und Cosinus geschrieben: \[ y(t) = C_1 \text{cos}(2t) + C_2 \text{sin}(2t) \].
Bei der Substitution der Anfangsbedingungen können wir wieder die spezifischen Werte für \(C_1\) und \(C_2\) finden, um die spezielle Lösung zu erhalten.