Problem 5 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

Lösen Sie das Anfangswertproblem $$ y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=e^{3 x} \cdot \sin x, \quad y(0)=y^{\prime}(0)=0, $$ indem Sie zunächst ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung und sodann eine spezielle Lösung \(y^{*}(x)\) der inhomogenen Gleichung durch Ansatz vom Typ der Störfunktion bestimmen.

Step-by-Step Solution

Answer

The solution to the initial value problem is:\( y(x) = \frac{1}{30} e^x - \frac{1}{10} e^{3x} + e^{3x} \left( -\frac{1}{30} \cos x - \frac{7}{90} \sin x \right) \)

Step 1 - Solve the Homogeneous Equation

First, solve the homogeneous equation corresponding to the differential equation. The homogeneous equation is: y'' - 4y' + 3y = 0The characteristic equation for this differential equation is: \( r^2 - 4r + 3 = 0 \)Solving this quadratic equation gives us the roots: r = 1 and r = 3. Therefore, the general solution to the homogeneous equation is: \( y_h(x) = c_1 e^x + c_2 e^{3x} \)

Step 2 - Guess the Particular Solution

To find a particular solution to the inhomogeneous equation, use the method of undetermined coefficients. Given the non-homogeneous term is \( e^{3x} \sin x \), guess a particular solution of the form: \( y_p(x) = e^{3x} (A \cos x + B \sin x) \).

Step 3 - Compute the Derivatives

Compute the first and second derivatives of the guessed solution: \( y_p'(x) = e^{3x} ((A+3B) \cos x + (B-3A) \sin x) \)\( y_p''(x) = e^{3x} ((-6A+9B) \cos x + (-6B-9A) \sin x) \)

Step 4 - Substitute into the Differential Equation

Substitute \( y_p(x) \), \( y_p'(x) \), and \( y_p''(x) \) into the original differential equation: \( e^{3x} ((-6A+9B) \cos x + (-6B-9A) \sin x) - 4e^{3x} ((A+3B) \cos x + (B-3A) \sin x) + 3e^{3x} (A \cos x + B \sin x) = e^{3x} \sin x \).

Step 5 - Simplify and Solve for Coefficients

Equate the coefficients of \( \cos x \) and \( \sin x \) on both sides of the equation to solve for A and B. We get two equations: \( -6A + 9B - 4A - 12B + 3A = 0 \), simplifying gives: \( -7A - 3B = 0 \)\( -6B - 9A - 12A + 12B + 3B = 1 \), simplifying gives: \( -21A + 9B = 1 \)Solving these equations simultaneously gives: \( A = -\frac{1}{30} \) and \( B = -\frac{7}{90} \)

Step 6 - Write the Particular Solution

Substitute the values of A and B back into the guessed particular solution: \( y_p(x) = e^{3x} \left( -\frac{1}{30} \cos x - \frac{7}{90} \sin x \right) \)

Step 7 - Find the General Solution

Combine the homogeneous solution \( y_h(x) \) and the particular solution \( y_p(x) \) to form the general solution: \( y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{3x} + e^{3x} \left( -\frac{1}{30} \cos x - \frac{7}{90} \sin x \right) \)

Step 8 - Apply Initial Conditions

Use the given initial conditions \( y(0) = 0 \) and \( y'(0) = 0 \) to solve for \( c_1 \) and \( c_2 \): From \( y(0) = 0 \):\( c_1 + c_2 - \frac{1}{30} = 0 \)From \( y'(0) = 0 \):\( c_1 + 3c_2 - 4 \times -\frac{7}{90} = 0 \)simplifying gives: \( c_1 + 3c_2 + \frac{14}{90} = 0 \)Solving these two initial condition equations, we get:\( c_1 = \frac{1}{30} \)\( c_2 = -\frac{1}{10} \)

Step 9 - Write the Final Solution

Substitute \( c_1 \) and \( c_2 \) back into the general solution to get the final solution:\( y(x) = \frac{1}{30} e^x - \frac{1}{10} e^{3x} + e^{3x} \left( -\frac{1}{30} \cos x - \frac{7}{90} \sin x \right) \)

Key Concepts

Differentialgleichungen

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die ein unbekanntes Funktion und seine Ableitungen enthält. Solche Gleichungen beschreiben oft Naturphänomene wie Bewegung, Wachstum oder Zerfall. Sie treten in unterschiedlichen Formen auf, z. B. als gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen. In unserem Beispiel bearbeiten wir eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:
\[ y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=e^{3 x} \cdot \sin x \]
Hier hängt die Funktion y(x) von ihrer ersten und zweiten Ableitung ab.

Fundamentalsystem

Um das Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir zuerst die Lösung der homogenen Gleichung bestimmen. Diese Lösung basiert auf dem *Fundamentalsystem* der Gleichungen. Für die homogene Gleichung:
\[ y'' - 4y' + 3y = 0 \]
Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung hat die Form:
\[ y_h(x) = c_1 e^x + c_2 e^{3x} \]
Dieses *Fundamentalsystem* besteht aus den Funktionen
\[ e^x \] und
\[ e^{3x} \] und bildet die Grundlage für die allgemeine Lösung.

Methode der unbestimmten Koeffizienten

Wenn wir eine inhomogene Differentialgleichung lösen, verwenden wir häufig die Methode der unbestimmten Koeffizienten. Bei dieser Methode raten wir eine spezielle Form der Lösung in Abhängigkeit vom inhomogenen Term.
In unserem Fall ist der inhomogene Term:
\[ e^{3x} \sin x \]
Daher raten wir für die besondere Lösung
\[ y_p(x) = e^{3x} (A \cos x + B \sin x) \]
Anschließend berechnen wir die Ableitungen und setzen sie in die Gleichung ein, um die unbestimmten Koeffizienten \(A\) und \(B\) zu bestimmen.

Charakteristische Gleichung

Um das Fundamentalsystem und somit die Lösung der homogenen Gleichung zu finden, benutzen wir die charakteristische Gleichung:
\[ r^2 - 4r + 3 = 0 \]
Diese Gleichung erhalten wir durch Annahme einer Exponentialfunktion als Lösung und Einsetzen in die homogene Differentialgleichung. Durch Lösen dieser quadratischen Gleichung erhalten wir die Wurzeln \[ r = 1 \] und \[ r = 3 \]. Aus diesen Wurzeln folgt die allgemeine Lösung:
\[ y_h(x) = c_1 e^x + c_2 e^{3x} \].

Homogene und inhomogene Gleichungen

Differentialgleichungen können homogen oder inhomogen sein. Eine homogene Gleichung hat keine zusätzlichen Terme (Störglieder). Ein Beispiel ist:
\[ y'' - 4y' + 3y = 0 \].
Eine inhomogene Gleichung enthält zusätzlich einen Funktionsterm, der nicht verschwindet. Zum Beispiel:
\[ y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=e^{3 x} \cdot \sin x \].
Das Lösen einer inhomogenen Gleichung erfordert das Bestimmen der homogenen Lösung sowie einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung. Die allgemeine Lösung ist die Summe dieser beiden Lösungen:
\[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) \].