Problem 1 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

Geben Sie zu den folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen jeweils ein reelles Fundamentalsystem an: a) \(\quad y^{(4)}-10 y^{(3)}+35 y^{\prime \prime}-50 y^{\prime}+24 y=0\), b) \(\quad y^{(4)}-2 y^{(3)}+y^{\prime \prime}=0\), c) \(y^{(4)}+3 y^{\prime \prime}-4 y=0\), d) \(\quad y^{(4)}-4 y^{(3)}+9 y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}=0\).

Step-by-Step Solution

Answer

a) \[ e^x, e^{2x}, e^{3x}, e^{4x} \], b) \[ 1, x, e^x, x e^x \], c) \[ e^{-2x}, e^x, e^{-x}, e^{2x} \], d) \[ 1, x, x^2, e^{2x} \]

Step 1: Understanding the General Solution

For a linear homogeneous differential equation of order n, the general solution is formed by finding the roots of the characteristic equation. The solution will be composed of functions based on these roots.

Step 1 - Establish the Characteristic Equation

Convert the differential equation to its characteristic polynomial form by replacing derivatives of y with powers of r.a) The characteristic polynomial is: \[ r^4 - 10r^3 + 35r^2 - 50r + 24 = 0 \]b) The characteristic polynomial is: \[ r^4 - 2r^3 + r^2 = 0 \]c) The characteristic polynomial is: \[ r^4 + 3r^2 - 4 = 0 \]d) The characteristic polynomial is: \[ r^4 - 4r^3 + 9r^2 - 10r = 0 \]

Step 2 - Find the Roots of the Characteristic Polynomial

Find all roots for each polynomial. The roots can be real or complex. a) The roots are: 1, 2, 3, 4.b) The roots are: 0 (with multiplicity 2), 1 (with multiplicity 2).c) The roots are: -2, 1, -1, 2.d) The roots are: 0, 2 (repeated thrice).

Step 3 - Construct the Fundamental System

Construct the general solution by combining all linearly independent solutions based on the roots found. a) \[ y = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x} + c_4 e^{4x} \]b) \[ y = c_1 + c_2 x + c_3 e^x + c_4 x e^x \]c) \[ y = c_1 e^{-2x} + c_2 e^x + c_3 e^{-x} + c_4 e^{2x} \]d) \[ y = c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + c_4 e^{2x} \]

Key Concepts

lineare Differentialgleichungen

Lineare Differentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die unbekannte Funktion und ihre Ableitungen nur in der ersten Potenz vorkommen und keine Produkte der unbekannten Funktion und ihrer Ableitungen enthalten.
Eine spezielle Art davon sind die linearen homogenen Differentialgleichungen. Homogen bedeutet, dass auf der rechten Seite der Gleichung keine eigenständige Funktion vorkommt, sondern nur Null steht.
Ein Beispiel hierfür ist die Gleichung: \[ y^{(4)} - 10 y^{(3)} + 35 y^{\prime \prime} - 50 y^{\prime} + 24 y = 0 \]
Solche Gleichungen lassen sich oft durch das Lösen der sogenannten charakteristischen Gleichung behandeln.

• Diese weist der Differentialgleichung eine polynomiale Form zu, die dann gelöst werden muss.
• Die Lösungen (Wurzeln) dieser polynomialen Gleichung sind entscheidend für das Verständnis der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung.

charakteristische Gleichung

Die charakteristische Gleichung ist ein wichtiger Schritt bei der Lösung von linearen homogenen Differentialgleichungen.
Man ersetzt dabei die Ableitungen der Funktion durch Potenzen einer Variablen, typischerweise 'r'.
Zum Beispiel transformiert sich die Differentialgleichung: \[ y^{(4)} - 2 y^{(3)} + y^{\prime \prime} = 0 \] in die characteristic equation: \[ r^4 - 2r^3 + r^2 = 0 \]
Hier ersetzt man die Ableitungsterme durch Potenzen von 'r'.

• Der Hauptvorteil davon ist, dass man so ein einfacher polynomiales Gleichungssystem erhält.
• Die Wurzeln dieser polynomialen Gleichung geben uns die Basis für die allgemeine Lösung der originalen Differentialgleichung.
• Diese Wurzeln können sowohl reell als auch komplex sein, was verschiedene Formen in der Lösung bedingt.

Fundamentalsystem

Ein Fundamentalsystem eines linearen homogenen Differentialgleichungssystems besteht aus einer Menge von Lösungen, die linear unabhängig sind.
Diese Lösungen können dann kombiniert werden, um die allgemeine Lösung der Differentialgleichung zu bilden.
Beispiel: Für die Differentialgleichung: \[ y^{(4)} - 10 y^{(3)} + 35 y^{\prime \prime} - 50 y^{\prime} + 24 y = 0 \], sind die Wurzeln: 1, 2, 3, 4.
Das Fundamentalsystem wäre dann: \[ y = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x} + c_4 e^{4x} \]

• Dies ist die allgemeine Lösung, wobei c_1, c_2, c_3, und c_4 beliebige Konstanten sind.
• Sie bilden eine linearkombination von exponentiellen Funktionen, die die Lösung darstellen.

Nullstellenberechnung

Die Nullstellenberechnung ist der Prozess zur Bestimmung der Wurzeln der charakteristischen Gleichung.
Diese Wurzeln bestimmen die Basislösungen des Fundamentalsystems.
Zum Beispiel für die Gleichung: \[ r^4 - 4r^3 + 9r^2 - 10r = 0 \], können wir die Nullstellen direkt durch Faktorisierung oder numerische Methoden finden.
Angenommen wir finden die Nullstellen: 0, 2 (dreimal).
Dann haben wir: \[ y = c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + c_4 e^{2x} \]

• Die Art und Weise, wie die Wurzeln in der Lösung erscheinen, hängt von ihrer Multiplikation ab.
• Mehrfach auftretende Wurzeln (wie die '2' im Beispiel) beeinflussen die Struktur der Lösung und deren unabhängige Terme.