Chapter 8

Finden Sie eine zahl \(x \in \mathbb{R}\) so, daB die Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty} x^{k-1}\) konvergent ist. Finden sie eine zahl \(y \in \mathbb{R}\) so, \(\operatorname{da} \beta\) die Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty} y^{k-1}\) divergent ist.

Konvergieren die folgenden Reihen? Was ist ihre summe? a) \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{3^{k-1}}\) b) \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}+3^{k}}{6^{k}}\).

a) Finden Sie neben der harmonischen Reihe ein Beispiel einer divergenten Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\), für die \(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}\) existiert. b) Zeigen Sie mit Hilfe von Satz (8.10) nochmals, daß die geometrische Reihe \(\sum^{\infty} x^{k-1}\) für \(|x|>1\) divergiert. \(k=1\) C) Konvergiert oder divergiert die Reihe $$ \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{3^{k}}\right) ? $$

AUFGABE 8. - Untersuchen sie die folgenden Reihen mit dem Wurzelkriterium auf Konvergenz: a) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}\), b) \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^{2 k}}{\left(1+a^{2}\right)^{k-1}}\), für welche \(a \in \mathbb{R}\) konvergiert diese Reihe?

Untersuchen Sie die folgenden Reihen mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz: a) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n t}{n}\) b) Für welche zahlen \(x>0\) konvergiert die Reihe \(\sum_{k=O}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !} ?\) c) \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{3^{k}}\) d) \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k !}{2^{k}}\)

Konvergieren oder divergieren die folgenden Reihen: a) \(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{1}{\sqrt{k}}\), b) \(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k^{2}}{1+k^{2}}\) ?

ES ist zwar jede absolut konvergente Reihe konvergent, aber die Umkehrung gilt nicht: Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergent sind. Wieso ist die Reihe $$ \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{1}{k+1} $$ ein Beispiel für diesen Satz?

Sinn dieser letzten Aufgabe ist es, Sie selbständig entscheiden zu lassen, welches der zahlreichen Kriterien für Konvergenz Sie auf eine gegebene Reihe anwenden müssen. a) Für welche a \(\in \mathbb{R}\) konvergiert die Reihe \(\sum_{\mathrm{k}=1}^{\infty} \frac{1}{(a+k)(a+k+1)}\) was ist ihre Summe? b) Folgern Sie aus der Konvergenz von \(\sum_{\mathrm{k}=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}, d \mathrm{a} \beta\) die Reihe \(\sum_{\mathrm{k}=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}\) konvergiert. C) Untersuchen sie die Reihen \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{a}}, a \in \mathbb{Z}\), auf Konvergenz und Divergenz.