Chapter 36

Gegeben ist eine Zufallsvariable \(X\) mit der Dichte \(f\) folgender Form $$ f(t)=\left\\{\begin{array}{ccc} 1+t & \text { für } & -1 \leq t<0 \\ 1-t & \text { für } & 0 \leq t<1 \\ 0 & \text { sonst } & \end{array}\right. $$ a) Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion \(F\) von \(X\). b) Berechnen Sie \(P(X \leq-0.5)\) und \(P\left(X^{2} \geq 0.25\right)\). c) Geben Sie den Erwartungswert von \(X\) an.

In einem Kronleuchter werden gleichzeitig 10 Glühbirnen eines bestimmten Typs eingeschraubt. Die Lebensdauer einer Glühbirne dieses Typs (in Stunden) lasse sich durch die exponentialverteilte Zufallsvariable mit \(\lambda=5 \cdot 10^{-4}\) angemessen beschreiben. Für die Lebensdauer der einzelnen. Glühbirnen wird eine Unabhängigkeitsannahme getroffen. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne dieses Typs eine Lebensdauer von über 500 Stunden hat. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 8 der 10 Glühbirnen eine Lebensdauer von über 500 Stunden haben.

Die Zufallsvariable \(X\) sei stetig verteilt mit folgender Dichte \(f\) : $$ f(x)=\left\\{\begin{array}{l} c \text { für } \quad-2 \leq x \leq 3, c \in \mathbb{R} \\ 0 \text { sonst } \end{array}\right. $$ a) Berechnen Sie den Wert \(c\) und skizzieren Sie die Dichte \(f\). b) Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion \(F\) der Zufallsvariablen \(X\). c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P\left(X^{2} \leq 1\right)\) d) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von \(X\).

Die Zufallsvariable \(X\) sei stetig verteilt mit folgender Dichte \(f\) : $$ f(x)= \begin{cases}\frac{c}{\sqrt{1-x^{2}}} & \text { für } \quad 0

a) Gegeben sei eine Zufallsvariable \(V\) mit $$ P(V=i)=\left(\frac{1}{2}\right), \quad i=1,2, \ldots $$ Berechnen Sie die Verteilung von $$ W=\cos \left(\frac{\pi}{2} \cdot V\right)-1 $$ b) Die Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\) seien unabhängig und \(N(1,4)\)-verteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(P(X \leq 2)\) und \(P(X>-1)\). Bestimmen Sie außerdem die Verteilungen der Zufallsvariablen \(2 X\) und \(X+Y\).