Problem 3 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

Die Zufallsvariable \(X\) sei stetig verteilt mit folgender Dichte \(f\) : $$ f(x)=\left\\{\begin{array}{l} c \text { für } \quad-2 \leq x \leq 3, c \in \mathbb{R} \\ 0 \text { sonst } \end{array}\right. $$ a) Berechnen Sie den Wert \(c\) und skizzieren Sie die Dichte \(f\). b) Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion \(F\) der Zufallsvariablen \(X\). c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P\left(X^{2} \leq 1\right)\) d) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von \(X\).

Step-by-Step Solution

Answer

a) \( c = \frac{1}{5} \) b) \( F(x) = \frac{1}{5}(x + 2) \) for \( -2 \leq x \leq 3 \) c) \( \frac{2}{5} \) d) Erwartungswert: \( \frac{1}{2} \), Varianz: \( \frac{25}{12} \)

Step 1 - Understanding the Problem

Identify that the given function is a probability density function (PDF) defined as: \[ f(x) = \begin{cases} c & \text{for} \quad -2 \leq x \leq 3, \, c \in \mathbb{R} \ 0 & \text{else} \end{cases} \] The task is to determine the constant \( c \), sketch the density function, find the cumulative distribution function (CDF), compute probabilities, and determine the expected value and variance.

Step 2 - Find the Constant \( c \)

Use the property of PDFs that the integral over the entire range must equal 1: \[ \int_{-2}^{3} f(x) \, dx = 1 \] Substitute the function \( f(x) \): \[ c \int_{-2}^{3} 1 \, dx = 1 \] Calculate the integral: \[ c(3 - (-2)) = 1 \] Hence, \[ 5c = 1 \implies c = \frac{1}{5} \]

Step 3 - Sketch the Density Function \( f \)

Using the value of \( c \) found, the density function is \( f(x) = \frac{1}{5} \) for \( -2 \leq x \leq 3 \). This can be sketched as a horizontal line at height \( \frac{1}{5} \) between \( -2 \) and \( 3 \) with value 0 outside this interval.

Step 4 - Find the Cumulative Distribution Function \( F(x) \)

Compute the CDF by integrating the PDF: \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt \] For \( x < -2 \): \[ F(x) = 0 \] For \( -2 \leq x \leq 3 \): \[ F(x) = \int_{-2}^{x} \frac{1}{5} \, dt = \frac{1}{5}(x + 2) \] For \( x > 3 \): \[ F(x) = 1 \]

Step 5 - Sketch the CDF \( F(x) \)

The CDF \( F(x) \) increases linearly from 0 to 1 over the interval \( -2 \leq x \leq 3 \), starting from 0 at \( x = -2 \) and reaching 1 at \( x = 3 \). Outside this interval, it remains constant at 0 and 1 respectively.

Step 6 - Compute \( P(X^2 \leq 1) \)

First determine the range of \(X\) such that \( X^2 \leq 1 \): \[ -1 \leq X \leq 1 \] Now compute the probability: \[ P(X^2 \leq 1) = \int_{-1}^{1} \frac{1}{5} \, dx = \frac{1}{5}(1 - (-1)) = \frac{1}{5} \times 2 = \frac{2}{5} \]

Step 7 - Compute the Expected Value of \( X \)

The expected value \( E[X] \) is given by: \[ E[X] = \int_{-2}^{3} x f(x) \, dx = \int_{-2}^{3} x \cdot \frac{1}{5} \, dx = \frac{1}{5} \int_{-2}^{3} x \, dx \] Compute the integral: \[ \int_{-2}^{3} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{3} = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \] Therefore, \[ E[X] = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \]

Step 8 - Compute the Variance of \( X \)

The variance \( \text{Var}(X) \) is given by: \[ \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 \] Compute \( E[X^2] \): \[ E[X^2] = \int_{-2}^{3} x^2 f(x) \, dx = \int_{-2}^{3} x^2 \cdot \frac{1}{5} \, dx = \frac{1}{5} \int_{-2}^{3} x^2 \, dx \] Compute the integral: \[ \int_{-2}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{3} = \frac{27}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{35}{3} \] Thus, \[ E[X^2] = \frac{1}{5} \cdot \frac{35}{3} = \frac{7}{3} \] Hence, \[ \text{Var}(X) = \frac{7}{3} - \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{7}{3} - \frac{1}{4} = \frac{28}{12} - \frac{3}{12} = \frac{25}{12} \]

Key Concepts

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) beschreibt die Wahrscheinlichkeiten einer zufälligen Variablen innerhalb eines bestimmten Wertebereichs. Die gegebene Dichtefunktion für die Zufallsvariable \(X\) lautet: \[ f(x) = \begin{cases} c & \text{für} \quad -2 \leq x \leq 3 \ 0 & \text{sonst} \end{cases} \]
Um \(c\) zu finden, muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten im gesamten Bereich - das Integral der Dichtefunktion - gleich 1 sein.
Das bedeutet: \[ \int_{-2}^{3} f(x) \, dx = 1 \]
Setzen wir die Funktion \(f(x)\) ein: \[ c \int_{-2}^{3} 1 \, dx = 1 \]
Wir berechnen das Integral: \[ c(3 - (-2)) = 1 \]
Also, \[ 5c = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{5} \]
Daraus ergibt sich die Dichtefunktion \(f(x) = \frac{1}{5}\) für \(-2 \leq x \leq 3\).

Berechnung von Erwartungswerten

Der Erwartungswert (oder Mittelwert) einer stetigen Zufallsvariablen \(X\) gibt den Durchschnitt der möglichen Werte an. Er wird durch Integrations verwendet: \[ E[X] = \int_{-2}^{3} x f(x) \, dx \]
Setzen wir die berechnete Dichtefunktion \(f(x)\) ein: \[ E[X] = \int_{-2}^{3} x \cdot \frac{1}{5} \, dx = \frac{1}{5} \int_{-2}^{3} x \, dx \]
Berechnen wir das Integral: \[ \int_{-2}^{3} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{3} = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \]
Also, \[ E[X] = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \]
Das bedeutet, der Erwartungswert der Zufallsvariablen \(X\) ist \(\frac{1}{2}\).

Berechnung von Varianzen

Die Varianz misst, wie stark die Werte einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert abweichen. Die Varianz \(\text{Var}(X)\) wird wie folgt berechnet: \[ \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 \]
Zuerst berechnen wir \(E[X^2]\): \[ E[X^2] = \int_{-2}^{3} x^2 f(x) \, dx = \int_{-2}^{3} x^2 \cdot \frac{1}{5} \, dx = \frac{1}{5} \int_{-2}^{3} x^2 \, dx \]
Berechnen wir das Integral: \[ \int_{-2}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{3} = \frac{27}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{35}{3} \]
Also, \[ E[X^2] = \frac{1}{5} \cdot \frac{35}{3} = \frac{7}{3} \]
Nun setzen wir die Werte in die Varianzformel ein: \[ \text{Var}(X) = \frac{7}{3} - \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{7}{3} - \frac{1}{4} = \frac{28}{12} - \frac{3}{12} = \frac{25}{12} \]
Die Varianz der Zufallsvariablen \(X\) beträgt somit \frac{25}{12}