Chapter 23

Bestimmen Sie näherungsweise den betragsgröBten Eigenwert der beiden Matrizen $$ A=\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ -3 & 5 \end{array}\right) $$ indem Sie mit \(x^{(0)}=(0,1)^{T}\) starten und 5 Iterationen mit der Potenzmethode (Algorithmus 23.1) durchführen.

Zeigen Sie mit dem Satz von Gerschgorin, dass die Matrix $$ A=\left(\begin{array}{rrr} 10 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right) $$ positiv definit ist. Geben Sie ein Intervall an, in dem der gröBte Eigenwert liegt. Führen Sie die Cholesky-Zerlegung \(A=L \cdot L^{T}\) durch und bilden Sie \(A_{1}=L^{T} \cdot L . A\) und \(A_{1}\) sind ähnlich. Geben Sie nun ein neues Intervall an, in dem der größte Eigenwert liegt.

Sei \(A=\left(a_{i k}\right) \in \mathbb{R}^{n, n}\) nichtsingulär mit \(a_{11}=0 .\) Zeigen Sie, dass \(A\) keine Dreieckszerlegung \(A=L \cdot R, L=\) untere Dreiecksmatrix, \(R=\) obere Dreiecksmatrix, besitzt.

Sei \(A \in \mathbb{R}^{n, n}\) nichtsingulär, und \(A\) besitze eine Zerlegung \(A=M \cdot N\). Zeigen Sie, dass \(A\) und \(\tilde{A}:=N \cdot M\) ähnlich sind.