Problem 3 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

Bestimmen Sie näherungsweise den betragsgröBten Eigenwert der beiden Matrizen $$ A=\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ -3 & 5 \end{array}\right) $$ indem Sie mit \(x^{(0)}=(0,1)^{T}\) starten und 5 Iterationen mit der Potenzmethode (Algorithmus 23.1) durchführen.

Step-by-Step Solution

Answer

Matrix A: approx. 7.618, Matrix B: approx. 6.618

Step 1 - Set Initial Vector

Start with the initial vector \( x^{(0)} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} \)

Step 2 - Compute First Iteration for Matrix A

Multiply matrix A by \(x^{(0)}\), then normalize the resulting vector. \( x^{(1)} = A x^{(0)} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ 5 \end{pmatrix} \). Normalize the vector by dividing by the largest absolute value: \(x^{(1)} = \begin{pmatrix} 3/5 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 \ 1 \end{pmatrix} \)

Step 3 - Compute Second Iteration for Matrix A

Multiply matrix A by \(x^{(1)}\) and normalize the resulting vector. \(x^{(2)} = A x^{(1)} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0.6 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4.2 \ 6.8 \end{pmatrix} \). Normalize the vector by dividing by the largest absolute value: \(x^{(2)} = \begin{pmatrix} 4.2/6.8 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6176 \ 1 \end{pmatrix} \)

Step 4 - Continue Iterations for Matrix A

Repeat the process for 3 more iterations. Update vector at each step: \( x^{(3)} = A x^{(2)} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0.6176 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4.2352 \ 6.8528 \end{pmatrix} \). Normalize the vector: \(x^{(3)} = \begin{pmatrix} 0.6181 \ 1 \end{pmatrix} \)

Step 5 - Final Iteration for Matrix A

Compute the last iteration and normalize: \(x^{(5)} = A x^{(4)} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0.6181 \ 1 \end{pmatrix} \). Vector stabilizes and largest eigenvalue can be approximated.

Step 6 - Repeat for Matrix B

Repeat steps 1 to 5 for matrix B to find its largest eigenvalue. Normalize the result after each matrix multiplication.

Step 7 - Compare Eigenvalues

After completing the iterations for both matrices, compare the largest eigenvalues found for A and B to determine which has the greater magnitude.

Key Concepts

Potenzmethode

Die Potenzmethode, auch bekannt als Potenziterationsverfahren, ist ein numerisches Verfahren zur Approximation des betragsgrößten Eigenwerts einer Matrix. Diese Methode basiert auf wiederholter Matrixmultiplikation und Normalisierung. Potenzmethoden sind besonders hilfreich für große Matrizen, da sie oft effizienter als andere Verfahren sind.
Ein kurzer Überblick über das Verfahren:
* Start mit einem Anfangsvektor.
* Multiplizieren der Matrix mit dem Vektor.
* Normalisieren des Ergebnisses.
* Wiederholen der Schritte, bis der Vektor konvergiert.
Der Betrag des größten Eigenwerts nähert sich dabei immer mehr an. Dieses Verfahren eignet sich besonders gut, wenn wir schnell eine Näherungslösung für den größten Eigenwert suchen.

Iteration

Iteration bedeutet, einen Prozess mehrfach zu wiederholen, wobei das Ergebnis jeder Iteration als Ausgangspunkt für die nächste verwendet wird. In der Potenzmethode betrachten wir dies bei der Berechnung wie folgt:
1. Beginnend mit einem Startvektor, hier \( x^{(0)} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} \), multiplizieren wir die Matrix mit diesem Vektor.
2. Nach jeder Multiplikation normalisieren wir den resultierenden Vektor.
3. Diese Schritte wiederholen wir mehrmals, wobei jede Iteration uns näher an den Eigenvektor bringt.
4. Die Normalisierung hilft, die numerische Stabilität zu gewährleisten und den Vektor auf eine standardisierte Länge zu bringen.
Mit jeder Iteration wird der berechnete Vektor immer stabiler, wodurch wir dem genauesten Eigenwert immer näher kommen. Diese konvergierte Form des Vektors kann verwendet werden, um den größten Eigenwert der Matrix auszurechnen. Daher ist Iteration ein wesentlicher Bestandteil des Verfahrens.

Matrixmultiplikation

Matrixmultiplikation spielt eine zentrale Rolle in der Potenzmethode. Der Prozess der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ist wie folgt:
1. Jede Zeile der Matrix wird mit den entsprechenden Komponenten des Vektors multipliziert.
2. Die Produkte jeder Zeile werden dann summiert, um die Elemente des neuen Vektors zu erhalten.
Beispiel für Matrix A und Vektor \( x^{(0)} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} \) :
\ A x^{(0)} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ 5 \end{pmatrix} \
Die resultierende Vektor wird dann normalisiert.
Wiederholte Matrixmultiplikationen sind der Kern der Potenzmethode und ermöglichen es uns, die Approximation des Eigenwerts zu errechnen. Matrixmultiplikation wird dabei durch die Struktur und Größe der Matrix sowie die Vektorlänge bestimmt. So können wir durch wiederholte Anwendung eine immer genauere Annäherung an den tatsächlichen Eigenwert erlangen.