Problem 4 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

Die Ermittlung des Gewichts von \(5000200 \mathrm{~g}\)-Packungen Butter brachte folgendes Ergebnis: $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text { Klasse } & \text { absolute Häufigkeit } \\ \hline(193 ; 194) & 1 \\ (194 ; 195) & 4 \\ (195 ; 196) & 35 \\ (196 ; 197) & 60 \\ (197 ; 198) & 350 \\ (198 ; 199) & 550 \\ (199 ; 200) & 750 \\ (200 ; 201) & 950 \\ (201 ; 202) & 900 \\ (202 ; 203) & 900 \\ (203 ; 204) & 250 \\ (204 ; 205) & 200 \\ (205 ; 206) & 35 \\ (206 ; 207) & 11 \\ (207 ; 208) & 4 \\ \hline \end{array} $$ Berechnen Sie die relativen Klassenhäufigkeiten und die summierten relativen Klassenhäufigkeiten. Tragen Sie die summierten relativen Klassenhäufigkeiten an der rechten Klassengrenze in das Wahrscheinlichkeitsnetz ein. Wählen Sie dabei folgende Klasseneinteilungen auf der waagrechten Achse: 2 Kästchen für \(1 \mathrm{~g}\). Legen Sie anschließend eine approximierende Gerade durch die Punkteschar und lesen sie Schätzwerte für \(\mu\) und \(\sigma\) ab.

Step-by-Step Solution

Answer

Summierte relative Häufigkeit für jeden rechtsseitig aufgetragenen Punkt im Wahrscheinlichkeitsnetz bestimmen, Gerade approximieren, \(\mu\) und \(\sigma\) ablesen.

Step 1: Schritt 1 - Absolute Häufigkeit und Gesamtanzahl bestimmen

Addiere alle absoluten Häufigkeiten zusammen: \[1 + 4 + 35 + 60 + 350 + 550 + 750 + 950 + 900 + 900 + 250 + 200 + 35 + 11 + 4 = 5000\] Die Gesamtanzahl beträgt also 5000.

Step 2: Schritt 2 - Berechne relative Häufigkeit

Berechne die relative Häufigkeit für jede Klasse, indem du die absolute Häufigkeit durch die Gesamtanzahl teilst: \[ \text{Relative Häufigkeit} = \frac{\text{Absolute Häufigkeit}}{5000} \]

Step 3: Schritt 3 - Relative Häufigkeit für jede Klasse bestimmen

Berechne die relativen Klassenhäufigkeiten:(193 ; 194): \[\frac{1}{5000} = 0.0002\](194 ; 195): \[\frac{4}{5000} = 0.0008\](195 ; 196): \[\frac{35}{5000} = 0.007\](196 ; 197): \[\frac{60}{5000} = 0.012\](197 ; 198): \[\frac{350}{5000} = 0.07\](198 ; 199): \[\frac{550}{5000} = 0.11\](199 ; 200): \[\frac{750}{5000} = 0.15\](200 ; 201): \[\frac{950}{5000} = 0.19\](201 ; 202): \[\frac{900}{5000} = 0.18\](202 ; 203): \[\frac{900}{5000} = 0.18\](203 ; 204): \[\frac{250}{5000} = 0.05\](204 ; 205): \[\frac{200}{5000} = 0.04\](205 ; 206): \[\frac{35}{5000} = 0.007\](206 ; 207): \[\frac{11}{5000} = 0.0022\](207 ; 208): \[\frac{4}{5000} = 0.0008\]

Step 4: Schritt 4 - Summierte relative Häufigkeit berechnen

Summiere die relativen Häufigkeiten, um die summierte relative Klassenhäufigkeit zu erhalten:(194): 0.0002(195): 0.0002 + 0.0008 = 0.001(196): 0.001 + 0.007 = 0.008(197): 0.008 + 0.012 = 0.02(198): 0.02 + 0.07 = 0.09(199): 0.09 + 0.11 = 0.20(200): 0.20 + 0.15 = 0.35(201): 0.35 + 0.19 = 0.54(202): 0.54 + 0.18 = 0.72(203): 0.72 + 0.18 = 0.90(204): 0.90 + 0.05 = 0.95(205): 0.95 + 0.04 = 0.99(206): 0.99 + 0.007 = 0.997(207): 0.997 + 0.0022 = 0.9992(208): 0.9992 + 0.0008 = 1.00

Step 5: Schritt 5 - Wahrscheinlichkeitsnetz erstellen

Trage die summierten relativen Häufigkeiten entlang der rechten Klassengrenzen (194, 195, ...) auf der waagrechten Achse eines Wahrscheinlichkeitsnetzes (mit 2 Kästchen für 1g) ein. Trage die entsprechenden Werte entlang der vertikalen Achse ein.

Step 6: Schritt 6 - Gerade approximieren und Schätzwerte ablesen

Zeichne eine approximierende Gerade durch die Punkteschar. Lese dabei den Mittelwert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) ab. Schätzwerte können variieren je nach exakter Methode des Einzeichnens der Gerade.

Key Concepts

absolute Häufigkeit

Absolute Häufigkeit sagt uns, wie oft ein bestimmter Wert oder eine Klasse von Werten in einem Datensatz vorkommt. Zum Beispiel, in unserer Übung bedeutet das, dass die Anzahl der Packungen, die in dem Gewichtsbereich von 193 bis 194 Gramm fallen (eine Klasse), 1 ist. Andere Werte in der Liste zeigen die Häufigkeiten für andere Klassen. Alle Häufigkeiten zusammengefasst ergeben die Gesamtanzahl der Daten.
For example in the table:

• (193 ; 194) hat eine absolute Häufigkeit von 1
• (194 ; 195) hat eine absolute Häufigkeit von 4

So kann man die Häufigkeiten für alle Klassen bestimmen und summieren, um die Gesamtanzahl zu erhalten. In dieser Übung ergibt die Summe aller absoluten Häufigkeiten 5000.

Mittelwert \(\mu\)

Der Mittelwert, oder Durchschnitt, ist eine zentrale Lage eines Datensatzes. Beim Ermitteln des Mittelwertes wird die Summe aller Werte durch die Anzahl der Werte geteilt. In dieser Übung geht es darum die Schätzwerte für den Mittelwert basierend auf unserem Wahrscheinlichkeitsnetz abzulesen.

• Ermittle erst die Mitte jeder Klasse, also der Mittelwert der Klassen (193 ; 194) ist 193.5
• Multipliziere jede Klassenmitte mit ihrer relativen Häufigkeit
• Addiere alle Ergebnisse zusammen
• Teile die Summe durch die Gesamtanzahl der Häufigkeiten (hier 5000)

Der Mittelwert kann mittels der approximierenden Gerade im Wahrscheinlichkeitsnetzwerk geschätzt werden.

Standardabweichung \(\sigma\)

Standardabweichung zeigt uns, wie stark die Datenwerte von ihrem Mittelwert abweichen. Ihre Berechnung hilft, die Verteilung einer Datenreihe zu verstehen. Kleinere Werte der Standardabweichung zeigen, dass die Daten dicht um den Mittelwert liegen. Größere Werte bedeuten eine größere Streuung.

• Wenn du die Standardabweichung berechnen willst, verwende dasselbe Wahrscheinlichkeitsnetz.
• Die Standardabweichung kann visuell mithilfe der approximierenden Gerade, die durch die summierten relativen Häufigkeiten gezeichnet wird, geschätzt werden.

Achte dabei, dass wenn die Verteilung eng ist, wird die Steigung der Gerade steiler und bei einer breit gestreuten Verteilung flacher.

Wahrscheinlichkeitsnetz

Ein Wahrscheinlichkeitsnetz ist ein nützliches Werkzeug zur Darstellung und Analyse von Verteilungen. Es wird verwendet, um die summierten relativen Häufigkeiten darzustellen. In der Übung haben wir summierte relative Häufigkeiten an die rechte Klassengrenze aufgetragen.
The steps help create a visual representation:

• Trage summierte relative Häufigkeiten entlang der klassischen Grenzen wie (194, 195 usw.) auf der waagrechten Achse ein.
• Verwende zwei Kästchen für je 1 Gramm Gewicht, wie vorgegeben.
• Die summierten relativen Häufigkeiten werden auf den vertikalen Axis eingetragen.

Dabei kann der Mittelwert und die Standardabweichung geschätzt und dargestellt werden.

summierte relative Häufigkeit

Summierte relative Häufigkeit zeigt uns, welcher Anteil der Datenwerte bis zu einer bestimmten Klasse aufläuft. Unsere Schritte in der Übung helfen uns, diesen Anteil zu bestimmen. Addiere die relativen Häufigkeiten nacheinander, um die summierte relative Häufigkeit zu erhalten.

• Für die Klasse (193 ; 194) ist die summierte relative Häufigkeit 0.0002
• Für die Klasse (194 ; 195) ist es 0.001 (also 0.0002 + 0.0008)
  

So wird die summierte relative Häufigkeit für jede Klasse nacheinander berechnet und fortgesetzt. Dies liefert eine kumulative Verteilungsfunktion, die dann zur weiteren Analyse wie den Mittelwert und die Standardabweichung herangezogen werden kann.