Problem 2 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

Zur Untersuchung von Wählerwanderungen befragt ein Meinungsforschungsinstitut 1000 zufällig ausgewählte wahlberechtigte Bürger nach ihrer letzten Wahlentscheidung. Für die Partei \(A\) haben bei der Wahl \(0.5 \%\) der Wähler gestimmt. Berechnen Sie unter geeigneten Annahmen die Wahrscheinlichkeeit, dass unter den befragten Bürgern höchstens zwei die Partei \(A\) gewählt haben, a) mit Hilfe der Binomialverteilung, b) unter Verwendung der Poisson-Approximation, c) durch Anwendung der Grenzwertsatzes von Moivre-Laplace mit und ohne Stetigkeitskorrektur.

Step-by-Step Solution

Answer

Binomial: Use binomial probability formula.Poisson: Use Poisson formula e^(-5)*sum_k=0to2((5^k)/k!).Moivre-Laplace: Convert to Z-score with/without continuity correction.

Step 1: Given Information

There are 1000 randomly selected eligible voters, and 0.5% of voters have voted for party A.

Step 2: Calculate Parameters for Binomial Distribution

The binomial distribution parameters are:Number of trials ( = 1000),Probability of success (= 0.005).

Step 3: Binomial Probability for Maximum 2 Voters

The probability for having 0, 1, or 2 voters who voted for party A is given by: P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)Calculate each binomial term:P(X = k) = C(1000, k) * (0.005)^k * (0.995)^(1000-k), where k = 0, 1, 2

Step 4: Calculate Probability (Using Binomial Distribution)

After substituting and simplifying:P(X = 0) = C(1000, 0) * (0.005)^0 * (0.995)^(1000)P(X = 1) = C(1000, 1) * (0.005)^1 * (0.995)^(999)P(X = 2) = C(1000, 2) * (0.005)^2 * (0.995)^(998)

Step 5: Total Probability (Using Binomial Distribution)

Sum the probabilities calculated:P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Step 6: Calculate Parameters for Poisson Distribution

For Poisson approximation, mean (= np = 1000 * 0.005 = 5),P(X ≤ 2) = e^(-5) * (5^0 / 0! + 5^1 /1! + 5^2 / 2!)

Step 7: Calculate Probability (Using Poisson Distribution)

P(X ≤ 2) = e^(-5) * (1 + 5 + 25/2)

Step 8: Calculate Parameters for Moivre-Laplace Theorem

For Moivre-Laplace theorem, mean ( = np = 5) and standard deviation ( = sqrt(np * (1- p)) = sqrt(5 * 0.995)).For P(X ≤ 2) convert to Z-score.

Step 9: Moivre-Laplace Without Continuity Correction

Convert to Z score and use standard normal tableto find P(Z < (2.5-5) / sqrt(4.975))

Step 10: Moivre-Laplace With Continuity Correction

Add and subtract 0.5 to xConvert to Z and use standard normal table to findP(Z < (2.5+0.5-5) / sqrt(4.975))

Key Concepts

Binomialverteilung

In der Wahrscheinlichkeitsstatistik bezieht sich die Binomialverteilung auf einen Prozess, bei dem ein Zufallsexperiment mehrmals unabhängig voneinander wiederholt wird. In unserem Beispiel wählen 1000 wahlberechtigte Bürger unabhängig voneinander eine Partei, wobei die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bürger Partei A wählt, 0.5% beträgt. Die Binomialverteilung ist dabei nützlich, um zu berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass eine bestimmte Anzahl von Bürgern (0, 1, oder 2) diese Partei wählen wird. Dies wird mit der Formel gerechnet: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] wobei \(\binom{n}{k}\) der Binomialkoeffizient ist. Hier sind die Werte für n = 1000 und p = 0.005. Zuletzt berechnen wir die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 0, 1 und 2 Wähler, um die Gesamtheit der Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

Poisson-Approximation

Die Poisson-Approximation vereinfacht die Berechnung für binomialverteilte Zufallsvariablen, insbesondere wenn die Anzahl der Versuche (n) groß und die Erfolgswahrscheinlichkeit (p) klein ist. Sie nimmt an, dass das Ereignis sehr selten, aber die Anzahl der Versuche hoch ist. Dafür verwenden wir die Formel der Poisson-Verteilung: \[ P(X = k) = \frac{e^{- \lambda} \lambda^k}{k!} \] wobei \( \lambda \) der Erwartungswert oder die Rate des Ereignisses ist (in diesem Fall \( \lambda = np \)). Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei Bürger Partei A wählen, setzen wir k = 0, 1 und 2 ein und addieren die Ergebnisse.

Moivre-Laplace-Grenzwertsatz

Der Moivre-Laplace-Grenzwertsatz dient der Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung, wenn n groß ist und p weder zu klein noch zu groß ist. Dies wird durch die Standardisierung der Zufallsvariablen erreicht. Hierbei wird der Z-Wert berechnet durch: \[ Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \] und wir nutzen die Standardnormalverteilungstabelle für das entsprechende Ergebnis. In unserem Beispiel bedeutet dies die Berechnung des Z-Wertes bei X = 2, dem Erwartungswert \(np = 5\) und der Standardabweichung \(\sqrt{np(1-p)}\).

Stetigkeitskorrektur

Die Stetigkeitskorrektur ist allgemein ein Verfahren, um die Abstufung der diskreten Binomialverteilung zu berücksichtigen, wenn sie durch eine kontinuierliche Normalverteilung angenähert wird. Diese Korrektur verbessert die Genauigkeit der Normalverteilungsapproximation der Binomialverteilung. Sie wird durchgeführt, indem 0.5 zu jeder untersuchten Grenze hinzugefügt oder abgezogen wird. Für unser Beispiel würde dies bedeuten, dass wir für den Z-Wert folgende Formel verwenden: \[ Z = \frac{2.5 + 0.5 - np}{\sqrt{np(1-p)}} \] und wieder die Standardnormalverteilungstabelle benutzen, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.