Problem 3 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

Bei einer Umfrage unter Besitzern eines weit verbreiteten PKW-Typs gaben 321 von 689 Befragten (unter anderem) an, dass sie mit ihrem Auto bisher sehr zufrieden sind. Berechnen Sie mit einer geeigneten Näherung ein Konfidenzintervall zum Niveau \(0.90\) für die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Besitzer dieses Autos angibt, mit seinem Auto sehr zufrieden zu sein.

Step-by-Step Solution

Answer

Das Konfidenzintervall ist ungefähr (0.441, 0.509).

Step 1: Schritt 1: Wähle die geeignete Näherungsmethode

Wähle die Normalverteilung als Näherung für das Konfidenzintervall, da die Stichprobengröße groß genug ist ( > 30).

Step 2: Schritt 2: Berechne den Stichprobenanteil

Berechne den Stichprobenanteil als . .

Step 3: Schritt 3: Finde den Z-Wert

Für ein Konfidenzniveau von 0.90, finde den Z-Wert, der den Bereich um enthält. Für bedeutet dies, dass und , so dass der Z-Wert .

Step 4: Schritt 4: Berechne den Standardfehler

Berechne den Standardfehler (SE) für den Stichprobenanteil. .

Step 5: Schritt 5: Berechne das Konfidenzintervall

Verwende die Formel für das Konfidenzintervall: . Setze die Werte ein: .

Step 6: Schritt 6: Gebe das Konfidenzintervall an

Das Konfidenzintervall ist .

Key Concepts

Normalverteilung

Die Normalverteilung ist eine wichtige Grundlage bei der Berechnung von Konfidenzintervallen, besonders wenn die Stichprobengröße groß ist. Bei einer großen Stichprobe (über 30 Beobachtungen) können wir die Normalverteilung verwenden, um das Verhalten des Stichprobenanteils zu modellieren. Die Normalverteilung, auch Gaußsche Glockenkurve genannt, ist durch ihre Glockenform gekennzeichnet und symmetrisch um ihren Mittelwert.

Eigenschaften der Normalverteilung sind:

• Symmetrie um den Mittelwert
• Die Fläche unter der Kurve entspricht insgesamt 1 (oder 100%)
• Der Mittelwert ist gleich dem Median und dem Modus

Wenn wir die Normalverteilung zur Berechnung eines Konfidenzintervalls verwenden, bedeutet dies, dass wir die zentrale Tendenz und die Streuung der Stichprobe berücksichtigen können, um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu erstellen, die die tatsächliche Population annähernd beschreibt.

Stichprobenanteil

Der Stichprobenanteil ist eine Schätzung des Anteils einer bestimmten Eigenschaft in der Population, basierend auf den Daten aus der Stichprobe. Er wird berechnet, indem man die Anzahl der Fälle, die diese Eigenschaft haben (z.B. Zufriedenheit mit einem Auto), durch die Gesamtzahl der Stichprobenfälle teilt.

Im gegebenen Beispiel:

• Anzahl der Befragten, die zufrieden sind: 321
• Gesamtanzahl der Befragten: 689

Der Stichprobenanteil (\text{p}) wird dann berechnet als: \( p = \frac{321}{689} \ = 0.466 \)

Dies bedeutet, dass ca. 46,6% der Befragten in der Stichprobe sehr zufrieden mit ihrem Auto sind. Dieser Wert ist eine Schätzung für den Anteil der zufriedenen Menschen in der gesamten Population.

Standardfehler

Der Standardfehler (SE) misst die Genauigkeit, mit der ein Stichprobenmittelwert (oder -proportion) den wahren Populationsmittelwert schätzt. Er wird kleiner, wenn die Stichprobengröße größer wird und größer, wenn die Standardabweichung in der Population größer ist.

Der Standardfehler für den Stichprobenanteil wird mit der Formel berechnet:
\[ SE = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]
In unserem Beispiel:
\[ p = 0.466, \ 1-p = 0.534, \ n = 689 \]

• Berechne den Standardfehler: \[ SE = \sqrt{\frac{0.466 \cdot 0.534}{689}} \ = 0.0188 \]

Der Standardfehler beträgt also 0.0188, was die Streuung der Stichprobenproportion um ihren Mittelwert herum darstellt.

Z-Wert

Der Z-Wert ist eine statistische Kennzahl der Standardnormalverteilung. Er gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt vom Mittelwert entfernt ist. Bei Konfidenzintervallen verwenden wir den Z-Wert, um den Bereich zu bestimmen, in dem ein bestimmter Anteil der Daten liegt.

Für ein Konfidenzniveau von 90% suchen wir den Z-Wert, der die Mitte 90% der Verteilung abdeckt. Die verbleibenden 10% sind gleichmäßig verteilt in den äußeren Bereichen der Verteilung, jeweils 5% auf jeder Seite.
Der Z-Wert für ein 90%-Konfidenzniveau beträgt ca. 1.645. Das bedeutet, dass 90% der Werte innerhalb von 1.645 Standardabweichungen vom Mittelwert liegen.

Die Berechnungsformel für das Konfidenzintervall lautet dann:
\[ CI = p \pm Z \cdot SE \]
Setzen wir die bekannten Werte aus unserem Beispiel ein:
\[ CI = 0.466 \pm 1.645 \cdot 0.0188 \]

• Das ergibt ein Konfidenzintervall von 0.466 \pm 0.0309.

Das bedeutet, dass wir mit 90%iger Sicherheit sagen können, dass der wahre Anteil zufriedener Autofahrer zwischen 43,5% und 49,6% liegt.