Problem 1 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

In einer Stadt liegen für 161 Jahre Niederschlagsmessungen im Monat April vor. Die Messreihe \(x_{1}, \ldots, x_{161} \quad\left(x_{i}=\right.\) Niederschlagshöhe in \(\mathrm{mm}\) im \(i\)-ten Jahr) hat das arithmetische Mittel \(\bar{x}=53.68\) und die empirische Streuung \(s=6.13 .\) Es wird angenommen, dass die Werte \(x_{1}, \ldots, x_{161}\) eine Realisierung von 161 unabhängigen, identisch \(N\left(\mu, \sigma^{2}\right)\)-verteilte \(\mathrm{Zu}-\) fallsvariablen sind. Bestimmen Sie mit Konfidenzschätzverfahren zum Niveau \(1-\alpha=0.95\) je ein konkretes Schätzintervall. a) für \(\mu\), b) für \(\sigma^{2}\) c) für \(\mu\) unter der Voraussetzung \(\sigma^{2}=6.13^{2}\). Eventuell benötigte Quantile: \(t_{160 ; 0.975}=1.9749, \quad \chi_{160 ; 0.025}^{2}=126.866, \quad \chi_{160 ; 0.975}^{2}=196.918\).

Step-by-Step Solution

Answer

The CI for \(\mu\) is \[52.728 \leq \mu \leq 54.632\]. The CI for \(\sigma^{2}\) is \[30.5444 \leq \sigma^{2} \leq 47.353\]. The CI for \(\mu\) with known \(\sigma^{2}\) is \[52.733 \leq \mu \leq 54.627\].

Step 1: Understand the given data

The given data includes the sample mean \(\bar{x} = 53.68\), sample standard deviation \(s = 6.13\), sample size \(n = 161\), and confidence level \(1 - \alpha = 0.95\).

Step 2: Identify the formula for confidence interval for \(\mu\)

The confidence interval for the population mean \(\mu\) when the sample standard deviation is known can be calculated using \[ \text{CI}_{\mu} = \bar{x} \pm t_{n-1;\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Step 3: Calculate the confidence interval for \(\mu\)

Using the given t-value \(t_{160;0.975} = 1.9749\), the confidence interval for \(\mu\) is: \[ \text{CI}_{\mu} = 53.68 \pm 1.9749 \frac{6.13}{\sqrt{161}} = 53.68 \pm 0.952 \]

Step 4: Simplify the interval for \(\mu\)

The confidence interval for \(\mu\) becomes: \[ 53.68 - 0.952 \leq \mu \leq 53.68 + 0.952 \] \[ 52.728 \leq \mu \leq 54.632 \]

Step 5: Identify the formula for confidence interval for \(\sigma^{2}\)

The confidence interval for the population variance \(\sigma^{2}\) can be calculated using the chi-square distribution: \[ \text{CI}_{\sigma^{2}} = \frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{n-1;\alpha/2}} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{n-1;1-\alpha/2}} \]

Step 6: Calculate the confidence interval for \(\sigma^{2}\)

Using the given chi-square values \(\chi^{2}_{160;0.025} = 126.866\) and \(\chi^{2}_{160;0.975} = 196.918\), \[ \text{CI}_{\sigma^{2}} = \frac{(161-1)6.13^{2}}{196.918} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(161-1)6.13^{2}}{126.866} \] \[ \text{CI}_{\sigma^{2}} = \frac{160 \cdot 37.5769}{196.918} \leq \sigma^{2} \leq \frac{160 \cdot 37.5769}{126.866} \] \[ 30.5444 \leq \sigma^{2} \leq 47.353 \]

Step 7: Identify the formula for confidence interval for \(\mu\) under known \(\sigma^{2}\)

When the population variance \(\sigma^{2} = 6.13^{2}\) is known, the confidence interval for the population mean \(\mu\) is calculated using the Z-distribution: \[ \text{CI}_{\mu} = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Step 8: Calculate the confidence interval for \(\mu\) under known \(\sigma^{2}\)

Using the Z-value \(Z_{0.975} = 1.96\) (since \(1 - \alpha = 0.95\)), the confidence interval for \(\mu\) is: \[ \text{CI}_{\mu} = 53.68 \pm 1.96 \frac{6.13}{\sqrt{161}} \] \[ \text{CI}_{\mu} = 53.68 \pm 0.947 \]

Step 9: Simplify the interval for \(\mu\) under known \(\sigma^{2}\)

The confidence interval for \(\mu\) becomes: \[ 53.68 - 0.947 \leq \mu \leq 53.68 + 0.947 \] \[ 52.733 \leq \mu \leq 54.627 \]

Key Concepts

arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel, oder Durchschnitt, ist ein wesentlicher Begriff in der Statistik und Mathematik. Es repräsentiert den Durchschnitt einer Datenmenge. Dieses Konzept ist besonders nützlich, um eine allgemeine Vorstellung vom mittleren Wert einer Messreihe zu bekommen.

Zur Berechnung des arithmetischen Mittels summiert man alle Werte einer Datenreihe und teilt anschließend durch die Anzahl der Werte:
\(\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \)

Im gegebenen Beispiel haben wir 161 Jahre Niederschlagsmessungen mit einem arithmetischen Mittel von 53,68 mm. Dies bedeutet, dass der durchschnittliche Niederschlag im April über diesen Zeitraum 53,68 mm beträgt.

empirische Streuung

Die empirische Streuung misst, wie stark die einzelnen Werte einer Datenreihe um den Durchschnittswert variieren. Sie gibt Aufschluss darüber, wie breit oder eng die Datenpunkte um das arithmetische Mittel verteilt sind.

Zur Berechnung der empirischen Streuung, oder Standardabweichung, verwendet man die Formel:
\(\text{s} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \)

In unsere Beispiel beträgt die empirische Streuung 6,13 mm. Dies signalisiert, dass die Niederschlagswerte im April jährlich um den Mittelwert von 53,68 mm schwanken.

Konfidenzschätzverfahren

Ein Konfidenzschätzverfahren dient zur Bestimmung eines Intervalls, in dem sich ein unbekannter Parameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit befindet.

Konfidenzintervalle bieten eine Methode, um die Unsicherheit bei Schätzungen statistischer Parameter wie dem Mittelwert oder der Varianz zu quantifizieren.

Im Allgemeinen wird das Verfahren durch die Wahl eines Konfidenzniveaus (wie z.B. 95%) und der Berechnung der entsprechenden Intervalle für Parameter wie \( \mu \) oder \( \sigma^2 \) durchgeführt.

In unserem Beispiel wurden Konfidenzintervalle für den Mittelwert, die Varianz und den Mittelwert unter der Voraussetzung einer bekannten Varianz berechnet.

Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist besonders nützlich für die Analyse von Varianz und wird häufig bei Konfidenzintervallen für die Varianz \( \sigma^2 \) verwendet.

In unserem Beispiel wurde die Chi-Quadrat-Verteilung genutzt, um das Konfidenzintervall für \( \sigma^2 \) zu berechnen:

\( \text{CI}_{\sigma^{2}} = \frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{n-1; \alpha/2}} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{n-1; 1-\alpha/2}} \)

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist asymmetrisch und variiert je nach Freiheitsgraden. In unserem Fall beträgt die Freiheitsgrade 160 (n-1).

t-Verteilung

Die t-Verteilung wird verwendet, wenn die Stichprobengröße klein ist oder die Populationsvarianz unbekannt ist.

Sie hilft bei der Berechnung des Konfidenzintervalls für den Mittelwert \( \mu \), wenn die Standardabweichung der Population unbekannt ist.

In unserem Beispiel wurde die t-Verteilung genutzt, um das Konfidenzintervall für \( \mu \) zu berechnen:
\( \text{CI}_{\text{µ}} = \bar{x} \pm t_{n-1; \alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} \)

Hier wurden 160 Freiheitsgrade verwendet und dadurch der Wert 1.9749 für \( t \). Dies hilft uns, das Vertrauensniveau von 95% sicherzustellen.