Chapter 3

Gegeben seien ein Rechteck und ein Streifen: $$ R=\\{(x, y):-1 \leq x \leq 1,-1 \leq y \leq 1\\}, S=\\{(x, y):-1 \leq x \leq 1, y \in \mathbb{R}\\} $$ Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Lipschitz-Stetigkeit bzgl. \(y\) in \(R\) bzw. \(S\) : a) \(\quad f_{1}(x, y)=x^{2} \cdot y\) in \(R\), b) \(\quad f_{2}(x, y)=x \cdot y^{3}\) in \(R\), c) \(f_{3}(x, y)=x \cdot y^{2}\) in \(S\) ? d) \(f_{4}(x, y)=x^{2}+2 y\) in \(S\).

Gegeben sei das Anfangswertproblem $$ y^{\prime}=\sqrt{|x \cdot y|}, \quad y(1)=0 $$ Bestimmen Sie durch Anwendung des Satzes von Peano (Satz 3.2) auf das Rechteck $$ R=\\{(x, y):|x-1| \leq 3,|y| \leq 4\\} $$ ein Intervall \(J\), auf dem eine Lösung des Anfangswertproblems existiert.

Zeigen Sie bei den folgenden Anfangswertproblemen, dass sie jeweils genau eine Lösung im Intervall \([1,2]\) besitzen: a) \(y^{\prime}=\sin \left(\sqrt{3 x-x^{2}-2}\right) \cdot y, \quad y\left(\frac{3}{2}\right)=10^{3}\), b) \(\quad y^{\prime}=\sin \left(\sqrt{3 x-x^{2}-2}\right) \cdot y^{2}, \quad y\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{4}\).