Chapter 9

Zeigen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, da\beta die komplexe Potenzreihe $$ \sum_{n=O}^{\infty} \frac{z^{n}}{n !} $$ absolut konvergent ist für alle \(z \in \mathbb{C} .\) (Der Summand ist \(\left.z^{n} / n l\right)\).

Zeigen Sie, daß die reelle Potenzreihe \(\sum_{n=O}^{\infty} n^{n} x^{n}\) für keine reelle zahl x konvergiert, abgesehen von dem Fall \(x=O\).

Uberprüfen Sie noch einmal mit der Formel von Hadamard, für welche \(x \in \mathbb{R}\) die geometrische Reihe $$ \begin{gathered} \sum_{n=O}^{\infty} x^{n} \\ \text { konvergiert. } \end{gathered} $$

Zeigen Sie, daß für die reelle Potenzreihe $$ \sum_{n=O}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n} $$ der Konvergenzradius \(R\) gleich 1 ist. Zeigen Sie weiterhin, daß für \(x \in]-R, R[\) gilt $$ \frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=O}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n} $$