Chapter 2

Geben Sie drei Beispiele von Phänomenen an, bei denen der Zufall im Spiel ist. An welcher Stelle genau kommt der Zufall ins Spiel? Geben Sie die formale Beschreibung an.

Was versteht man formal unter einem Zufallsexperiment?

Geben Sie ein Beispiel an für ein Zufallsexperiment, bei dem unendlich viele Ausgänge vorkommen. (Geben Sie \(\Omega\) und \(P\) explizit an!)

Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen Laplace-Experimenten und der diskreten Gleichverteilung.

Geben Sie ein Beispiel für ein Zufallsexperiment an, das kein LaplaceExperiment ist.

Welche Möglichkeiten kennen Sie, die Wahrscheinlichkeit \(P(A \mid B)\) aus anderen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen?

\(X\) sei eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten \(1,2,3\) und \(Y\) eine \(\mathrm{Zu}\) fallsvariable mit Werten in \(\\{A, B, C\\}\) für drei verschiedene Zahlen \(A, B, C\). \(X\) sei diskret gleichverteilt und für \(Y\) gelte: $$ P(Y=A)=0.1, P(Y=B)=0.5, P(Y=C)=0.4 $$ Stellen Sie die zugehörige Tafel der gemeinsamen Verteilung auf, wenn \(X\) und \(Y\) unabhängig sind. Geben Sie für alle \(x \in\\{1,2,3\\}\) und \(y \in\\{A, B, C\\}\) die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P(X=x \mid Y=y)\) an.

Wie viele Pumpen muss man in Beispiel 2.4.2 nehmen, damit \(P(B)<\) \(10^{-5}\) gilt, wenn \(p=0.1\) ist. Für ein Rohr aus \(n=10\) Rohrstcken und \(q=0.01\) ist das Rohr mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0.0956\) undicht. In diesem Fall gehe alles Kühlwasser verloren. Wieviele solcher Rohre muss man parallel verlegen, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass alle Rohre undicht sind und also die Khlung ausfällt, kleiner als \(0.0001\) ist?

Welche Formel bzw. Rechenregel steckt hinter der Pfadregel für mehrstufige Zufallsexperimente?