Chapter 13

Untersuchen Sie auf Konvergenz a) \(\int_{0}^{\infty} e^{-t} \sin t d t\) b) \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{t^{3}+1}} d t\) c) \(\int_{0}^{\infty} \frac{t}{\sqrt{t^{4}+1}} d t\) d) \(\int_{-\infty}^{O} \frac{t \cdot \arctan t}{t^{3}-1} d t\)

Bestimmen Sie, falls die uneigentlichen Integrale konvergieren, ihren Wert. a) \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} d t\) b) \(\int_{1}^{2} \frac{1}{t \ln t} d t\)

Konvergieren a) \(\int_{0}^{1} \ln \left(\frac{1}{1-t}\right) d t\) b) \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[4]{1-t^{4}}} d t\) ?

Konvergieren a) \(\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{t}}}{\sqrt{t}} d t\) b) \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+t) \sqrt{t}} d t\) ?

a) Zeigen Sie $$ \mathscr{L}\left[t^{n}\right](s)=\frac{n !}{s^{n+1}}, \quad s>0, \quad n \in \mathbb{N}_{o} $$ b) Bestimmen Sie $$ \mathcal{L}\left[\frac{\cos \alpha t-\cos \beta t}{\beta^{2}-\alpha^{2}}\right](s), \quad \alpha^{2} \neq \beta^{2}, s>0 $$

Bestimmen Sie die Funktionen, deren Laplace-Transformierte gegeben sind durch: a) \(\mathscr{L}[f](s)=\frac{s+\alpha}{s\left(s^{2}+a^{2}\right)} \quad, \quad s>0\), b) \(\mathscr{L}[f](s)=\frac{s}{(s+\alpha)(s+\beta)}, \quad s>\max \\{-\alpha,-\beta\\}\).

Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten }}\( von a) \)f(t)=\cos (\omega t+\varphi), \quad \omega, \varphi>0\(. b) \)f(t)=(a t+b)^{2}, \quad a, b>0$.