Chapter 12

Berechnen sie a) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x d x\) b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \cos x d x\) Manchmal vereinfacht die partielle Integration das zu berechnende Integral, ohne direkt die gesuchte stammfunktion zu liefern. Fuhrt dann eine mehrfache Anwendung der partiellen Integration zum Ziel, so spricht man von einer "Reduktions forme\ell" oder "Rekursionsformet" Wir wollen dies an einem Beispiel erl?utern.

Bestimen sie mit der Substitutionsregel a) \(f(a x+b)^{n} d x\) b) \(\int \theta \cos \theta^{2} d \theta\) c) \(\int\left(\cos x-\cos ^{3} x\right) d x\)

zeigen sie die Richtigkeit aieser pormeln. BEISPIEL. - Gesucht ist $$ \int \frac{1}{1+\sin x} d x,-\frac{\pi}{2}

Bestimimen sie $$ \int \frac{1}{\sin x} d x $$

AUPGABE 22. - Bestimen Sie a) \(\int_{1}^{2} e^{3 x} d x\) b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos ^{2} \theta d \theta .\) c) Bestimmen Sie den Flacheninhalt einer Ellipse mit aer kleinen Halbachse \(b\) una der grolen Halbachse a.

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen. Gibt es au\betaerdem Losungen, die sie nicht mit der "Soparation der variablen" finden? Wo existieren die Lôsungen in Abhàngigkeit von der Konstanten? a) \(y^{\prime}=y^{*} \sin x\) b) \(y^{\prime}=\frac{12}{x}\).

Bestimmen sie die Polynomzerlegung von a) \(q(x),=x^{3}+2 x^{2}+2 x+1\) b) \(q(x) ;=x^{4}-x\)

Bestimmen sie mit Hilfe des Koeffizientenvergleichs die Partialbruchzerlegung der rationalen, Funktion $$ \frac{p(x)}{q(x)}=\frac{3 x^{2}+3 x+1}{x^{3}+2 x^{2}+2 x+1} $$

Bestimmen sie die partialbruchzerlegung der rationalen Funktion $$ \frac{p(x)}{q(x)}=\frac{x^{4}+4 x^{3}+3 x^{2}+3 x+2}{x^{3}(x+1)} $$ mit der Einsetzmethode.

Berechnen Sie a) \(\int \frac{x^{4}+4 x^{3}+3 x^{2}+3 x+2}{x^{3}(x+1)} d x\), b) \(\int \frac{1}{x^{3}-1} d x\) Die Notwendigkeit, das unbestimmte Integral einer rationalen Funktion zu bestimmen, ergibt sich oft im Anschluß an eine Substitution. Als Beispiel dazut

Bestinmer SiC $$ \int \frac{x}{\sqrt{\frac{1}{3} x^{2}-2 x}} d x $$