Chapter 5

Es sei \(G\) eine endliche Gruppe. Man zeige: (i) Sind \(H, H^{\prime}\) normale auflisbare Untergruppen in \(G\), so auch \(H \cdot H^{\prime}\). (ii) Es existiert eine eindeutig bestimmte gr?bte normale auflobabare Untergrup. pe in \(G\). Diese ist invariant unter allen Automorphismen von \(G\).

Es sei \(G\) eine Gruppe und \(X\) die Menge aller Untergruppen voe \(G\). Man zeige: (i) \(G \times X \longrightarrow X,(g, H) \longleftrightarrow g H g^{-1}\), definiert eine Aktion von \(G\) auf \(X\). (ii) Die Buhn eines Elementes \(H \in X\) besteht grnau dann nur aus \(H\), wenn \(H\) ein Normalteiler in \(C\) ist. (iii) Ist die Ordnung von \(G\) Potenz einer Primzahl \(p\), so unterscheides sich die Anzahl der Untergruppen in \(G\) von der Anzahl der Normalteiler in \(G\) um ein Vielfaches von \(p\).

Man zeige, dass die alternierende Gruppe 3s keinen nicht-trivialen Normalteiler besitat.

Man schreibe folgende Permutationen ali Prodult von Zyklen und berechno jeweils das. Signum: $$ \left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{array}\right) \in \mathcal{O}_{4} \quad\left(\begin{array}{llllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 1 & 4 & 5 & 2 & 6 & 8 & 7 \end{array}\right) \in \mathcal{S}_{b} $$

Man zeige, dass jede Gruppe \(G\) der Ordnung 36 einen nicht-trivialen Normalteiler besitat. Hinweis: Man betrachte die Aktion von \(G\) auf der Menge der 3 -SylowGruppen in \(C\).