Chapter 31

Stellen Sie die folgenden symmetrischen Funktionen jeweils explizit durch elementarsymmetrische Funktionen dar. (a) \(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2} \in \mathbb{Q}\left[X_{1}, X_{2}, X_{3}\right]\) (b) \(X_{1}^{4}+X_{1}^{3} X_{2}+X_{1}^{2} X_{2}^{2}+X_{1} X_{2}^{3}+X_{2}^{4} \in \mathbb{Q}\left[X_{1}, X_{2}\right]\) (c) \(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3} \in \mathbb{Q}\left[X_{1}, X_{2}, X_{3}\right]\).

Bestimmen Sie jeweils die Diskriminante des Polynoms \(P\) und entscheiden Sie, ob \(P\) eine doppelte Nullstelle in \(\mathbb{C}\) hat: (a) \(P=X^{4}+1 \in \mathbb{R}[X]\). (b) \(P=X^{3}-6 X+2 \sqrt{2} \in \mathbb{R}[X]\). (c) \(P=\left(X^{7}-2 X^{3}+X-1\right)^{3} \in \mathbb{R}[X]\).

Es sei \(K\) ein Körper mit Char \(K \notin\\{2,3\\}\). Bringen Sie die Gleichung \(a x^{3}+\) \(b x^{2}+c x+d=0\) mit \(a, b, c, d \in K, a \neq 0\), durch eine geeignete Substitution auf die Form \(x^{\prime 3}+p x^{\prime}+q=0\).

Bestimmen Sie mit den cardanoschen Formeln die Wurzeln des Polynoms \(P=X^{3}-6 X+2 \in \mathbb{Q}[X]\).