Chapter 2

Sudoku für Mathematiker. Es sei \(G=\\{a, b, c, x, y, z\\}\) eine sechselementige Menge mit einer inneren Verknüpfung \(\cdot G \times G \rightarrow G\). Vervollständigen Sie die untenstehende Multiplikationstafel unter der Annahme, dass \((G, \cdot)\) eine Gruppe ist.

Es sei \(G\) eine Gruppe. Man zeige: (a) Ist Aut \(G=\\{\mathrm{Id}\\}\), so ist \(G\) abelsch. (b) Ist \(a \mapsto a^{2}\) ein Homomorphismus, so ist \(G\) abelsch. (c) Ist \(a \mapsto a^{-1}\) ein Automorphismus, so ist \(G\) abelsch.

Man bestimme alle Automorphismen der Klein'schen Vierergruppe \(V\).

Für \(n \in \mathbb{N}\) sei \(E_{n}=\left\\{\mathrm{e}^{\frac{2 \pi k i}{n}} \mid k=0, \ldots, n-1\right\\}\) die Gruppe der \(n\)-ten Einheitswurzeln (mit dem üblichen Produkt der komplexen Zahlen). Begründen Sie, dass \(\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow E_{n}, k \mapsto \varepsilon_{n}^{k}\) für \(\varepsilon_{n}=\mathrm{e}^{\frac{2 \pi i}{n}}\) ein Homomorphismus ist. Bestimmen Sie den Kern \(\operatorname{von} \varphi\).

Es sei \(G\) eine endliche Gruppe, weiter sei \(\varphi \in\) Aut \(G\) fixpunktfrei, d.h., aus \(\varphi(a)=a\) für ein \(a \in G\) folgt \(a=e .\) Zeigen Sie: Zu jedem \(a \in G\) existiert genau ein \(b \in G\) mit \(a=b^{-1} \varphi(b)\). Hinweis: Zeigen Sie zuerst \(\psi: b \mapsto b^{-1} \varphi(b)\) ist injektiv.

Im Folgenden sind vier multiplikative Gruppen gegeben, die wir jeweils mit \(G\) bezeichnen. Stellen Sie jeweils die Verknüpfungstafel für die Gruppe \(G\) auf; dabei sei jeweils \(e\) das neutrale Element von \(G\) : (a) \(G=\\{e, a\\}\), (b) \(G=\\{e, a, b\\}\), (c) \(G=\\{e, a, b, c\\}\) mit \(a^{2}=b\), (d) \(G=\\{e, a, b, c\\}\) mit \(a^{2}=b^{2}=c^{2}=e\).

Begründen Sie: (a) Die Menge \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}_{0}}\) aller reellen Folgen bildet mit der komponentenweisen Addition \(\left(a_{n}\right)_{n}+\left(b_{n}\right)_{n}:=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n}\) eine Gruppe. (b) Die Abbildungen $$ r:\left\\{\begin{array}{ccc} \mathbb{R}^{\mathbb{N}_{0}} & \rightarrow & \mathbb{R}^{\mathbb{N}_{0}}, \\ \left(a_{0}, a_{1}, \ldots\right) & \mapsto & \left(0, a_{0}, a_{1}, \ldots\right) \end{array} \text { bzw. } l:\left\\{\begin{array}{ccc} \mathbb{R}^{\mathbb{N}_{0}} & \rightarrow & \mathbb{R}^{\mathbb{N}_{0}} \\ \left(a_{0}, a_{1}, \ldots\right) & \mapsto & \left(a_{1}, a_{2}, \ldots\right) \end{array}\right.\right. $$ bei der die Folgenglieder um eine Stelle nach rechts verschoben bzw. nach links verschoben werden, sind Homomorphismen. (c) Die Abbildung \(r\) ist injektiv, aber nicht surjektiv, die Abbildung \(l\) ist surjektiv, aber nicht injektiv.

Es sei \(\varphi: G \rightarrow H\) ein Isomorphismus von einer Gruppe \((G, \circ)\) auf eine algebraische Struktur \((H, *)\), d.h. \(*: H \times H \rightarrow H\) ist eine Verknüpfung, und es gelte \(\varphi(x \circ y)=\varphi(x) * \varphi(y)\) für alle \(x, y \in G .\) Zeigen Sie, dass auch \((H, *)\) eine Gruppe ist.

Es sei \(X\) eine beliebige Menge. Mit \(2^{X}\) bezeichnen wir die Potenzmenge von \(X, 2^{X}=\\{A \mid A \subseteq X\\} .\) Zeigen Sie, dass \(\left(2^{X}, \Delta\right)\) mit der durch \(A \Delta B:=(A \cup B) \backslash(A \cap B)\) definierten Verknüpfung (symmetrische Mengendifferenz) eine abelsche Gruppe ist.

Zeigen Sie für \(n \in \mathbb{N}\) und jeden Körper \(K\) : (a) Die Menge \(\mathrm{O}(n, K)=\left\\{A \in K^{n \times n} \mid A A^{\top}=E_{n}\right\\}\) der orthogonalen \(n \times n\)-Matrizen bildet eine Untergruppe von \(\mathrm{GL}(n, K)\). (b) Die Menge \(\mathrm{SO}(n, K)=\\{A \in \mathrm{O}(n, K) \mid \operatorname{det}(A)=1\\}\) der speziellen orthogonalen \(n \times n\)-Matrizen bildet eine Untergruppe von \(\mathrm{O}(n, K)\).