Chapter 11

Zeigen Sie: Jede abelsche Gruppe \(G\), die eine Kompositionsreihe besitzt, ist endlich.

Geben Sie zu den beiden Normalreihen $$ \mathbb{Z} \unrhd 15 \mathbb{Z} \geq 60 \mathbb{Z} \geq\\{0\\} \quad \text { und } \quad \mathbb{Z} \unrhd 12 \mathbb{Z} \unrhd\\{0\\} $$ äquivalente Verfeinerungen und die zugehörigen Faktoren an.

Man gebe eine Kompositionsreihe für \(\mathbb{Z}_{p^{k}}\) an ( \(p\) eine Primzahl).

Man bestimme die abgeleitete Reihe $$ D_{n}^{(0)} \unrhd D_{n}^{(1)} \unrhd \cdots $$ für die Diedergruppe \(D_{n}, n \in \mathbb{N}\). Für welche \(n\) ist die Diedergruppe \(D_{n}\) auflösbar?

Zeigen Sie, dass jede Gruppe \(G\) der Ordnung \(p^{2} q\) mit Primzahlen \(p, q\) auflösbar ist.

Zeigen Sie, dass die Gruppe \(S_{4}\) auflösbar ist.

Bestimmen Sie die Kommutatorgruppe \(G^{\prime}\) für die Gruppe \(G\) der invertierbaren oberen \((2 \times 2)\)-Dreiecksmatrizen über dem Körper \(K=\mathbb{Z}_{p}, p\) prim: $$ G=\left\\{\left(\begin{array}{ll} a & b \\ 0 & c \end{array}\right) \in K^{2 \times 2} \mid a, c \in K \backslash\\{0\\}, b \in K\right\\} $$

Es sei \(G\) die Gruppe der invertierbaren oberen \((2 \times 2)\)-Dreiecksmatrizen über einem Körper \(K\). (a) Begründen Sie, warum \(G\) auflösbar ist. (b) Es sei weiter \(H\) die Untergruppe von \(G\), die aus allen Elementen von \(G\) mit Determinante 1 besteht. Ist \(H\) auflösbar?