Chapter 6

Begründen oder widerlegen Sie: (a) \(\mathbb{Z}_{8} \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4}\) (b) \(\mathbb{Z}_{8} \cong \mathbb{Z}_{2} \times V\) fir die Klein'sche Vierergruppe \(V\).

Man zeige: Jede Gruppe der Ordnung 4 ist entweder zu \(\mathbb{Z}_{4}\) oder zu \(Z_{2} \times Z_{2}\) isomorph.

Es sei \(N\) ein Normalteiler einer Gruppe \(G\). Man zeige: Es ist \(G\) genau dann das innere direkte Produkt \(G=U N, U \cap N=\\{e\\}\), von \(N\) mit einem Normalteiler \(U\), wenn es einen Homomorphismus \(\beta: G \rightarrow N\) gibt, dessen Restriktion \(\beta_{N}=N \rightarrow N, \beta_{N}(x)=\beta(x)\) ein Isomorphismus ist.

Es seien \(U, N\) Normalteiler der endlichen Gruppe \(G\) mit teilerfremden Ordmungen und \(|G|=|U|-|N| .\) Zeigen Sie: (a) \(G=U \otimes N\). (b) \(\operatorname{Aut}(G) \cong \operatorname{Aut}(U) \times \operatorname{Aut}(N)\).

Bestimunen Sie die Lösungsmenge des folgenden Systerns simultaner Kongruenzen: $$ X \equiv 7(\bmod 11), \quad X \equiv 1(\bmod 5), \quad X \equiv 18(\bmod 21) $$

\(\mathrm{Es}\) sei \(\mathrm{S}^{1}:=\\{z \in \mathrm{C} \mid z \overline{\mathrm{z}}=1\\}\) der Einheitskreis. Zeigen Sie: (a) \(\left(\mathrm{S}^{1}, \cdot\right)\) ist eine Gruppe, die \(E_{n}:=\left\\{z \in \mathbb{C} \mid z^{n}=1\right\\}\) für jedes \(n \in \mathbb{N}\) als Untergruppe enthält. (b) Für \(\mathbb{R}_{+}:=\\{x \in \mathbb{R} \mid x>0\\}\) gilt \(\mathbb{C} \backslash\\{0\\} \cong \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{S}^{1}\). (c) Es gibt einen Isomorphismus \(\varphi: \mathbb{R} / \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{S}^{1}\). (d) Bestimmen Sie die Elemente endlicher Ordnung in \(\mathbb{R} / Z\) und \(\mathbb{S}^{1}\). Bilden sse eine Gruppe?

Die Gruppe \(G\) sei das direkte Produkt ihrer Untergruppen \(U\) und \(N ;\) und \(H\) sei eine \(U\) umfassende Untergruppe von \(G\). Man zeige, dass \(H\) das direkte Produkt der Untergruppen \(U^{2}\) und \(H \cap N\) ist.

Semidirekte Produkte (a) Es seien \(U\) eine Untergruppe und \(N\) ein Normalteiler einer Gruppe \(G\) mit \(G=U N\) und \(U \cap N=\left\\{e_{G}\right\\}\) Begründen Sie, dass jedes Element \(a\) aus \(G\) auf genau eine Weise in der Form \(u v\) mit \(u \in U\) und \(v \in N\) dargestellt werden kann und dass \(G / N\) zu \(U\) isomorph ist. Man nennt \(G\) das semidirekte Produkt von \(U\) mit \(N\). (b) Es seien ein Körper \(K\) und die Teilmengen \(G:=\left\\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right) \mid a, c \in K \backslash\\{0\\}, b \in K\right\\}\), \(N:=\left\\{\left(\begin{array}{ll}1 & b \\ 0 & 1\end{array}\right) \mid b \in K\right\\}\) und \(U:=\left\\{\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & c\end{array}\right) \mid a, c \in K \backslash\\{0\\}\right\\}\) von \(\mathrm{GL}_{2}(K)\) gegeben. Zeigen Sie, dass \(G, U\) und \(N\) die Bedingungen aus (a) erfuillen. Ist \(U\) ein Normalteiler von \(G ?\)