Chapter 7

Zeigen Sie, dass die Frobeniusmatrix \(A\) in Bemerkung (5) das charakteristische Polynom $$ P_{A}(\lambda)=\lambda^{n}+a_{n-1} \cdot \lambda^{n-1}+\cdots+a_{1} \cdot \lambda+a_{0} $$ besitzt. Anleitung: Entwickeln Sie \(\operatorname{det}(\lambda I-A)\) nach der ersten Zeile und führen Sie vollständioe Induktion über die Reihenzahl \(n\) durch

Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des folgenden Systems linearer Differentialgleichungen $$ \begin{aligned} &y_{1}^{\prime}=2 \cdot y_{1}+y_{2} \\ &y_{2}^{\prime}=-y_{1}+2 \cdot y_{2} \end{aligned} $$

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems $$ \vec{y}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 3 & 3 \\ 1 & 5 \end{array}\right) \cdot \vec{y} $$ a) mittels der Eigenwerte und Eigenvektoren, b) durch die Eliminationsmethode.

a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems $$ \vec{y}^{\prime}=\left(\begin{array}{lll} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{array}\right) \cdot \vec{y} $$ b) Bestimmen Sie diejenige Lösung aus Teil a), die der Anfangsbedingung $$ \vec{y}(0)=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) $$ genügt.

Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des Systems $$ \vec{y}^{\prime}=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot \vec{y} $$