Bei \(n=21\) normalgewichtigen Männern ungefähr gleichen Alters wurden sowohl
Körpergrö3e \(x_{i}\) (in \(\mathrm{cm}\) ) als auch Gewicht \(y_{i}\) (in
\(\left.\mathrm{kg}\right)\) ermittelt, \(i=1, \ldots, n .\) Zwischen den
\(x\)-Werten und den \(y\)-Werten wird cin lincarer Zusammenhang der Form \(y=a
x+b\) angenommen. Für die Werte \(y_{1}, \ldots, y_{n}\) wird vorausgesetzt, dass
sie eine Realisierung von unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen mit
gleicher (unbekannter) Varianz \(\sigma^{2}\) sind. Aus den Messwerten ergab
sich:
$$
\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^{n} x_{i}=3738, \sum_{i=1}^{n} y_{i}=1743 \\
&\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}=666134, \sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}=146979 \quad \text
{ und } \quad \sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}=310947
\end{aligned}
$$
a) Bestimmen Sie die Regressionsgerade.
b) Berechnen Sie mit einem selbst hergeleiteten Konfidenzschätzverfahren zum
Niveau \(1-\alpha\) ein konkretes Schätzintervall für \(\sigma^{2}\) im Fall
\(1-\alpha=0.95\)
c) Ärzte verwenden häufig die Faustregel „Normalgewicht gleich KörpergröBe
minus \(100^{\prime \prime}\). Überprüfen Sie, ob diese Regel angemessen ist,
indem Sie sowohl die Nullhypothese \(H_{0}: a=1\) als auch die Nullhypothese
\(\tilde{H}_{0}: b=-100\) jeweils auf dem Niveau \(\alpha=0.05\) testen.
