Chapter 40

Aus Erfahrung sei bekannt, dass die störungsfreie Betriebsdauer eines bestimmten Systems durch eine stetig verteilte Zufallsvariable \(X\) mit der Dichte $$ f(x)=\left\\{\begin{array}{cl} 2 \theta x e^{-\theta x^{2}} & \text { für } \quad x>0 \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. $$ beschrieben werden \(\operatorname{kann}, \theta>0 .\) Schätzen Sie das für dieses System passende \(\theta\) aufgrund der folgenden 20 Betriebsdauern (in 1000 Stunden) mittels der Maximum-Likelihood-Methode: $$ \begin{array}{lllll} 1.530 & 1.173 & 1.832 & 1.075 & 1.539 \\ 0.998 & 2.083 & 0.693 & 2.529 & 1.693 \\ 1.325 & 1.487 & 1.298 & 1.743 & 1.432 \\ 1.369 & 0.987 & 2.222 & 1.818 & 1.505 \end{array} $$

Bei einem psychologischen Test sind entweder 0,1 oder 2 Punkte zu erreichen. Aus Erfahrung weiß man, dass das Testergebnis durch eine diskrete Zufallsvariable \(X\) mit einer Wahrscheinlichkeitsfunktion des Typs \(P_{\theta}(X=0)=\theta / 2, P_{\theta}(X=1)=1-\theta, P_{\theta}(X=2)=\theta / 2, \theta \in(0,1)\) gut beschrieben werden kann. Bestimmen Sie die Maximum- LikelihoodSchätzwert für \(\theta\) zu den Daten \(0,0,2,1,2,2\).