Die Zufallsvariable \(X\) sei stetig verteilt mit der Dichte
$$
f(x)= \begin{cases}\theta+2 \cdot(1-\theta) \cdot x & \text { falls } 0 \leq x
\leq 1 \\ 0 & \text { sonst }\end{cases}
$$
wobei \(\theta\) ein unbekannter Parameter mit \(0 \leq \theta \leq 2\) ist.
a) Berechnen Sie in Abhängigkeit von \(\theta\) die Erwartungswerte
\(E_{\theta}(X), E_{\theta}\left(X^{2}\right)\), und
\(E_{\theta}\left(X^{4}\right)\)
b) Die Zufallsvariablen \(X_{1}, \ldots X_{n}\) seien unabhängig und identisch
wie \(X\) verteilt. Zeigen Sie, dass die Schätzer
$$
\begin{aligned}
&T_{n}\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=4-\frac{6}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n}
X_{i} \quad \text { und } \\
&\tilde{T}_{n}\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=3-\frac{6}{n} \cdot
\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}
\end{aligned}
$$
erwartungstreu für \(\tau(\theta)=\theta\) sind.
c) Welchen Schätzer würden Sie wählen?
d) Untersuchen Sie die jeweiligen Schätzerfolgen auf Konsistenz.
