Chapter 27

Gegeben sei das Anfangswertproblem $$ \begin{aligned} y^{\prime}(x) &=\frac{1}{2} \cdot(y(x)+1)^{-1} \quad \text { für } x \in[0,1] \\\ y(0) &=0 \end{aligned} $$ a) Man bestimme die exakte Lösung. b) Zur numerischen Lösung benutze man das klassische Runge-KuttaVerfahren 4. Ordnung (Algorithmus 27.7) mit der Schrittweite \(h=1\) und führe einen Schritt aus. Man vergleiche \(u_{1}\) mit dem exakten Wert \(y(1)\).

Formen Sie das Anfangswertproblem 2. Ordnung $$ \begin{aligned} &y^{\prime \prime}(x)+2 y^{\prime}(x)+y(x)-2 e^{-x}=0 \quad \text { für } \quad x \in[0,1] \\ &y(0)=y^{\prime}(0)=0 \end{aligned} $$ um in ein Anfangswertproblem für ein System 1. Ordnung. Wenden Sie sodann das auf Systeme übertragene erste Runge-KuttaVerfahren 2. Ordnung (vgl. Ü. 27.5) auf dieses Beispiel an. Wählen Sie dazu \(h=\frac{1}{4}\) und führen Sie zwei Schritte durch. Vergleichen Sie mit der exakten Lösung \(y(x)=x^{2} \cdot e^{-x}\).