Chapter 24

Zeigen Sie, dass das Newton-Verfahren (Algorithmus 24.3) quadratisch gegen \(x^{*}\) konvergiert, falls \(F^{\prime}\left(x^{*}\right) \neq 0\) ist.

Zeigen Sie, dass das Newton-Verfahren (Algorithmus 24.3) nur linear gegen \(x^{*}\) konvergiert, falls \(F^{\prime}\left(x^{*}\right)=0\) ist. (Diese Aufgabe ist schwierig!)

Gesucht ist der Schnittpunkt der Kurven \(x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}=1\) und \(2 x_{1}^{2}=x_{2}^{2} \mathrm{im}\) 1. Quadranten. a) Schreiben Sie die Aufgabe als ein Nullstellenproblem. b) Bestimmen Sie näherungsweise eine Lösung mit Hilfe des zweidimensionalen Newton-Verfahrens, indem Sie mit \(x^{(0)}=(1,1)^{T}\) starten und dreimal iterieren.

Gegeben sei das lineare System \(A \cdot x=b\) mit einer singulären Matrix \(A \in \mathbb{R}^{n, n}\). Sei \(A=N-P\) mit \(\operatorname{det} N \neq 0\) eine Aufspaltung von \(A\), und sei \(M:=N^{-1} \cdot P, d:=N^{-1} \cdot b .\) Zeigen Sie, dass dann \(\varrho(M) \geq 1\) gilt. Anleitung: Betrachten Sie die Picard-Iteration \(x^{(\nu+1)}=M \cdot x^{(\nu)}+d\), nehmen Sie \(\varrho(M)<1\) an und leiten Sie mit Hilfe von Satz \(21.5\) und Satz \(24.6\) mit \(D=\mathbb{R}^{n}\) einen Widerspruch her.