Chapter 21

Seien \(A, B \in \mathbb{R}^{n, n}\) obere (untere) Dreiecksmatrizen. Zeigen Sie: a) \(A^{-1}\) ist wieder eine obere (untere) Dreiecksmatrix, falls \(A\) überhaupt invertierbar ist. b) \(A \cdot B\) ist wieder eine obere (untere) Dreiecksmatrix. c) \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn alle Diagonalelemente von \(A\) nicht Null sind. d) Für \(A=\left(a_{i j}\right)\) gelte \(a_{i i}>0, a_{i j} \leq 0\) für \(i, j=1, \ldots, n\) und \(i \neq j\). Dann ist \(A^{-1} \geq 0\), d.h. alle Elemente von \(A^{-1}\) sind nichtnegativ.

Das in Beispiel (7) behandelte Gleichungssystem liege in folgender Form vor: $$ \left(\begin{array}{cc} 1 & 200 \\ 1 & 1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 100 \\ 1 \end{array}\right) $$ Lösen Sie dieses mit 2 signifikanten Dezimalstellen und üblicher Rundung a) ohne Pivotsuche, b) mit Spaltenpivotwahl, c) mit Restmatrixpivotwahl. Beurteilen Sie die Oualität der Lösungen

Für \(x, y \in \mathbb{R}^{n}, A \in \mathbb{R}^{n, n}\) zeigen Sie die folgenden Beziehungen: a) \(\|x-y\| \geq|\|x\|-\|y\||\) für beliebige Vektornormen, b) \(\lim _{p \rightarrow \infty}\|x\|_{p}=\|x\|_{\infty}\) c) \(\mu(A)=\|A\| \cdot\left\|A^{-1}\right\| \geq 1\) für beliebige induzierte Matrixnormen, d) \(\|A\|_{1}=\left\|A^{T}\right\|_{\infty}, \quad\|A\|_{2}^{2} \leq\|A\|_{1} \cdot\|A\|_{\infty}\)

Gegeben $$ A=\left(\begin{array}{ll} 2.192 & 3.516 \\ 3.516 & 5.643 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{l} 2.576 \\ 4.128 \end{array}\right) $$ a) Was ist die exakte Lösung von \(A x=b ?\) b) Bestimmen Sie \(\mu_{2}(A)=\|A\|_{2} \cdot\left\|A^{-1}\right\|_{2}\). (Hinweis: für symmetrische Matrizen gilt \(\|A\|_{2}=\varrho(A)\).) c) Lösen Sie \(A x=b\) mit Gaub-Algorithmus ohne Pivotsuche. Rechnen Sie mit 4 signifikanten Stellen (d.h. nach jedem Schritt auf 4 Gesamtstellen runden). d) Ist die in c) erhaltene Näherungslösung \(\tilde{x}\) nach dem Satz von Prager und Oettli akzeptabel, wenn die Koeffizienten von \(A\) und \(b\) durch Messungen und dann Runden auf 4 signifikante Stellen entstanden sind?