Chapter 19

Berechnen Sie die Kurvenintegrale $$ \oint_{K} \frac{1}{(z+i)(z-2)} d z $$ über die Kreise \(K=K_{1.5}(0), K=K_{2}(3)\) und \(K=K_{0.5}(0)\).

Berechnen Sie das uneigentliche Integral $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x $$

Bestimmen Sie a) \(\quad \max _{|z| \leq 1}\left|e^{z}\right|\) b) \(\max _{z \in M}\left|z^{2}-1\right|\), wobei \(M\) das Quadrat mit den Eckpunkten 0,1, \(1+i\) und \(i\) ist.

Gibt es eine auf \(\mathbb{C}\) reguläre Funktion \(f\) mit den Funktionswerten \(f\left(\frac{1}{n}\right)=\) a) \(1,0,1,0,1,0, \ldots\) b) \(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{4}, 0, \frac{1}{8}, 0, \ldots\) c) \(\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}, \frac{7}{8} \ldots\) für \(n=1,2,3,4,5,6, \ldots\) ?

Geben Sie alle auf C regulären Funktionen \(f\) an, die \(|f(z)|=1\) für \(z \in \mathbb{C}\) erfüllen.