Chapter 16

Auf welche Menge wird durch die gebrochen lineare Abbildung \(w=\frac{z}{z-1}\) der offene Kreisring zwischen den Kreisen \(K_{1}(0)\) und \(K_{2}(0)\) abgebildet? Hinweis: Beachten Sie, dass die reelle Achse auf sich abgebildet wird und dass die Abbildung winkeltreu ist.

Bestimmen Sie die gebrochen lineare Funktion, durch die die Punkte \(z_{1}=-i, z_{2}=i\) und \(z_{3}=-2+i\) auf \(w_{1}=-i, w_{2}=\infty\) und \(w_{3}=-1\) abgebildet werden. a) Welche Geraden werden auf Geraden abgebildet ? b) Bestimmen Sie die Bildmenge der imaginären Achse in der \(z\)-Ebene. c) Bestimmen Sie die Bildmenge der Durchschnittsmenge der beiden Kreise \(U_{\sqrt{2}}(-1)\) und \(U_{\sqrt{2}}(1)\).

Ein Fixpunkt einer gebrochen linearen Abbildung ist ein Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird. a) Bestimmen Sie alle gebrochen linearen Abbildungen, die \(z_{1}=0\) und \(z_{2}=1\) als Fixpunkte haben. b) Welche dieser Abbildungen bildet den Punkt \(z=i\) auf \(w=1+i\) ab? c) Welche Teilmenge der \(z\)-Ebene wird durch die in b) gefundene Funktion auf die reelle Achse der \(w\)-Ebene abgebildet ?