Chapter 12

Bestimmen Sie jeweils die Originalfunktion zu den folgenden LaplaceTransformierten: a) \(F(s)=\frac{s+1}{s^{2}+s-6}\) (Partialbruchzerlegung), b) \(F(s)=\frac{1}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\) (Faltungssatz), c) \(F(s)=\frac{1}{s\left(1-e^{-s}\right)}\), d) \(F(s)=\ln \frac{s+1}{s-1}\) (Differentiationssatz).

Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem mit einem System erster Ordnung mit den Anfangswerten \(y_{1}(0)=-1\) und \(y_{2}(0)=0\) : $$ \begin{aligned} \dot{y}_{1}+y_{1}+2 \dot{y}_{2}+3 y_{2} &=e^{-t} \\ 3 y_{1}-y_{1}+4 y_{2}+y_{2} &=0 \end{aligned} $$.

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung $$ t \ddot{y}+2(t-1) \dot{y}+(t-2) y=0 $$ Hinweis: Wenden Sie Satz 12.2 (i) und (ii) an, um die Differentialgleichung zu transformieren; dadurch erhalten Sie eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung für \(Y(s)=\mathcal{L}\\{y(t)\\}\), die noch zu lösen ist.