Chapter 10

Entscheiden Sie bei folgenden Differentialgleichungen, ob sie quasilinear, halblinear oder linear sind: a) \(\left(x^{2}+y^{2}\right) \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-2 \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=u^{3} \cdot\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\)

Der 2-dimensionale Laplace-Operator \(\Delta u \equiv \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\) soll in Polarkoordinaten umgeschrieben werden; dazu setzen Sie: \(F(r, \varphi) \equiv u(x, y)\) mit \(x=r \cdot \cos \varphi, y=r \cdot \sin \varphi\) für \(r>0\) und \(0 \leq \varphi<2 \pi\) Sodann bilden Sie nach der Kettenregel (vgl. Band I, Kapitel 30 ) die partiellen Ableitungen $$ \frac{\partial F}{\partial r}, \quad \frac{\partial^{2} F}{\partial r^{2}}, \quad \frac{\partial F}{\partial \varphi}, \quad \frac{\partial^{2} F}{\partial \varphi^{2}} $$ und zeigen Sie schließlich die Beziehung $$ \Delta u \equiv \frac{\partial^{2} F}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial F}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} F}{\partial \varphi^{2}} $$