Q.28 - Calculus

Question

Suppose g(x), h(x), and j(x) are differentiable functions with

values of the function and its derivative given in the following table:

$if f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)h\left(x\right)+j\left(x\right)}{h\left(x\right)} find f\text{'}(-1)$

Step-by-Step Solution

Answer

 The value of $f\text{'}(-1)$ is $-1+\frac{2}{0} , \mathrm{here} \frac{2}{0} \mathrm{is} \mathrm{not} \mathrm{defined}$

Step1. Given information

Values of the function and its derivative given.

We have to find out the values of $f\text{'}(-1)$

Step 2. Finding the derivatives of the given function

   Here $$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)} , \\ =\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)} \\ \mathrm{When} \mathrm{we} \mathrm{do} \mathrm{differentiation} , \mathrm{we} \mathrm{get} \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)+{\left(\frac{\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)}\right)}^{\text{'}} \\ \mathrm{By} \mathrm{applying} \mathrm{the} \mathrm{quotient} \mathrm{rule}, \mathrm{we} \mathrm{get} {\left(\frac{\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)}\right)}^{\text{'}}=\frac{\mathrm{j}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}{(\mathrm{h}{\left(\mathrm{x}\right))}^2} \mathrm{since} \mathrm{the} \mathrm{quotient} \mathrm{rule}: {\left(\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}}\right)}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{f} \left(\mathrm{x}\right) \text{'}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) - \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g} \left(\mathrm{x}\right)\text{'}}{(\mathrm{g}{\left(\mathrm{x}\right))}^2} \\ \mathrm{then} \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{j}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}{(\mathrm{h}{\left(\mathrm{x}\right))}^2} \end{gathered}$$

Step 3. Finding the value of f ' ( - 1 )

$$\begin{gathered} \mathrm{Since} \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{j}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}{(\mathrm{h}{\left(\mathrm{x}\right))}^2} \\ \mathrm{then} \mathrm{f}\text{'}(-1)=\mathrm{g}\text{'}(-1)+\frac{\mathrm{j}\text{'}(-1)\mathrm{h}(-1)-\mathrm{j}(-1)\mathrm{h}\text{'}(-1)}{(\mathrm{h}{(-1))}^2} \\ \mathrm{From} \mathrm{the} \mathrm{table} \mathrm{we} \mathrm{get} \mathrm{values},\mathrm{g}\text{'}(-1)=-1,\mathrm{j}\text{'}(-1)=-2,\mathrm{h}\text{'}(-1)=-2,\mathrm{j}(-1)=1 ,\mathrm{h}(-1)=0 \\ \mathrm{substitute} \mathrm{these} \mathrm{values} \mathrm{on} \mathrm{f}\text{'}(-1).\mathrm{then} \mathrm{we} \mathrm{get} \\ \mathrm{f}\text{'}(-1)=\mathrm{g}\text{'}(-1)+\frac{\mathrm{j}\text{'}(-1)\mathrm{h}(-1)-\mathrm{j}(-1)\mathrm{h}\text{'}(-1)}{(\mathrm{h}{(-1))}^2} \\ =-1+\frac{-2\times 0-1\times -2}{0^2} \\ =-1+\frac{2}{0} , \mathrm{here} \frac{2}{0} \mathrm{is} \mathrm{not} \mathrm{defined} \end{gathered}$$