Q. 9 - Calculus

Question

$$\begin{gathered} \mathrm{Write} \mathrm{each} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{limits} \mathrm{in} \mathrm{Exercises} 9–11 \mathrm{in} \mathrm{terms} \mathrm{of} \mathrm{definite} \mathrm{integrals}, \mathrm{and} \mathrm{identify} \\ \mathrm{a} \mathrm{solid} \mathrm{of} \mathrm{revolution} \mathrm{whose} \mathrm{volume} \mathrm{is} \mathrm{represented} \mathrm{by} \mathrm{that} \mathrm{definite} \mathrm{integral}: \\ \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim } \sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{\pi }{(1+{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*})}^2\left(\frac{1}{\mathrm{n}}\right), \mathrm{with} {\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*}={\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=2+\mathrm{k}\left(\frac{1}{\mathrm{n}}\right) \end{gathered}$$

Step-by-Step Solution

Answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{solid} \mathrm{of} \mathrm{revolution} \mathrm{is} \mathrm{formed} \mathrm{by} \mathrm{rotating} \mathrm{the} \mathrm{region} \mathrm{below} \mathrm{the} \mathrm{line} (1+\mathrm{x}) \\ \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{interval} [2,3]. \end{gathered}$$

Step 1. Given Information is:

$\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim } \sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{\pi }{(1+{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*})}^2\left(\frac{1}{\mathrm{n}}\right), \mathrm{with} {\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*}={\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=2+\mathrm{k}\left(\frac{1}{\mathrm{n}}\right)$

Step 2. Finding Interval

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{expression} \mathrm{for} \mathrm{input} \mathrm{variable} \mathrm{is} \mathrm{given} \mathrm{as}: \\ {\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}+\mathrm{k}(∆\mathrm{x}) \\ {\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}+\mathrm{k}\left(\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{\mathrm{n}}\right) \\ \mathrm{Compare} \mathrm{this} \mathrm{expression} \mathrm{with} \mathrm{the} \mathrm{given} \mathrm{expression} \mathrm{to} \mathrm{have} \mathrm{the} \mathrm{values} \mathrm{as} \\ \mathrm{a}=2 \mathrm{and} \mathrm{b}-\mathrm{a}=1. \mathrm{Use} \mathrm{these} \mathrm{equations}, \mathrm{to} \mathrm{derive} \mathrm{b}=3. \\ \mathrm{Thus}, \mathrm{the} \mathrm{interval} \mathrm{of} \mathrm{intergration} \mathrm{is} [2,3]. \end{gathered}$$

Step 3. Creating definite integral

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim } \sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{\pi }{(1+{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*})}^2\left(\frac{1}{\mathrm{n}}\right), \mathrm{with} {\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*}={\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=2+\mathrm{k}\left(\frac{1}{\mathrm{n}}\right) \\ \mathrm{To} \mathrm{create} \mathrm{the} \mathrm{definite} \mathrm{integral}, \mathrm{replace} \mathrm{the} \mathrm{summation} \mathrm{sign} \mathrm{by} \mathrm{the} \mathrm{sign} \mathrm{of} \\ \mathrm{definite} \mathrm{integral}, ∆\mathrm{x} \mathrm{by} \mathrm{dx}: \\ \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim } \sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{\pi }{(1+{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*})}^2\left(\frac{1}{\mathrm{n}}\right)={\int }_2^3\mathrm{\pi }{(1+\mathrm{x})}^2\mathrm{dx} \\ \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim } \sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{\pi }{(1+{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*})}^2\left(\frac{1}{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{\pi }{\int }_2^3{(1+\mathrm{x})}^2\mathrm{dx} \end{gathered}$$

Step 4. Result

$$\begin{gathered} \mathrm{This} \mathrm{integral} \mathrm{can} \mathrm{be} \mathrm{compared} \mathrm{with} \mathrm{the} \mathrm{expression} \mathrm{for} \mathrm{solid} \mathrm{of} \mathrm{revolution} \mathrm{given} \mathrm{as} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2\mathrm{dx} \\ \mathrm{Compare} \mathrm{this} \mathrm{expression} \mathrm{with} \mathrm{the} \mathrm{definite} \mathrm{integral} \mathrm{derived} \mathrm{above} \mathrm{to} \mathrm{determine} \mathrm{the} \\ \mathrm{function} \mathrm{for} \mathrm{solid} \mathrm{of} \mathrm{revolution}. \\ \mathrm{It} \mathrm{is} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = 1+\mathrm{x} \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{interval} [2,3]. \\ \mathrm{This} \mathrm{represents} \mathrm{a} \mathrm{straight} \mathrm{line}. \\ \mathrm{Thus}, \mathrm{the} \mathrm{solid} \mathrm{of} \mathrm{revolution} \mathrm{is} \mathrm{formed} \mathrm{by} \mathrm{rotating} \mathrm{the} \mathrm{region} \mathrm{below} \mathrm{this} \mathrm{straight} \mathrm{line} \\ \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{above} \mathrm{mentioned} \mathrm{interval}. \end{gathered}$$