Q. 68 - Calculus

Question

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{pressure} P \mathrm{of} \mathrm{an} \mathrm{ideal} \mathrm{gas} \mathrm{is} \mathrm{given} \mathrm{by} P(n,T,V)=\frac{nRT}{V}, \mathrm{where} n \mathrm{is} \mathrm{the} \\ \mathrm{amount} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{gas}, R \mathrm{is} \mathrm{a} \mathrm{constant}, T \mathrm{is} \mathrm{the} \mathrm{temperature} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{gas} \mathrm{in} \mathrm{degrees} \\ \mathrm{Kelvin}, \mathrm{and} V \mathrm{is} \mathrm{the} \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{gas}. \mathrm{Find} \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \mathrm{n}}, \frac{\partial P}{\partial V}, \mathrm{and} \frac{\partial P}{\partial T}. \mathrm{What} \mathrm{are} \mathrm{the} \\ \mathrm{physical} \mathrm{interpretations} \mathrm{of} \mathrm{these} \mathrm{partial} \mathrm{derivatives}? \end{gathered}$$

Step-by-Step Solution

Answer

$$\begin{gathered} \frac{\partial P}{\partial n}=\frac{RT}{V} \\ \mathrm{This} \mathrm{tells} \mathrm{us} \mathrm{how} \mathrm{fast} \mathrm{the} \mathrm{pressure} \mathrm{changes} \mathrm{with} \mathrm{a} \mathrm{unit} \mathrm{change} \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{amount} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{gas}. \\ \frac{\partial P}{\partial V}=-\frac{nRT}{V^2} \\ \mathrm{This} \mathrm{tells} \mathrm{us} \mathrm{how} \mathrm{fast} \mathrm{the} \mathrm{pressure} \mathrm{changes} \mathrm{with} \mathrm{a} \mathrm{unit} \mathrm{change} \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{gas}. \\ \frac{\partial P}{\partial T}=\frac{nR}{V} \\ \mathrm{This} \mathrm{tells} \mathrm{us} \mathrm{how} \mathrm{fast} \mathrm{the} \mathrm{pressure} \mathrm{changes} \mathrm{with} \mathrm{a} \mathrm{unit} \mathrm{change} \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{temperature} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{gas}. \end{gathered}$$

Step 1. Given information

The pressure of a ideal gas is given by, $P(n,T,V)=\frac{nRT}{V}$

Step 2. Finding the partial derivatives and physical interpretation of them

$$\begin{gathered} \frac{\partial P}{\partial n}=\frac{RT}{V} \\ \mathrm{This} \mathrm{tells} \mathrm{us} \mathrm{how} \mathrm{fast} \mathrm{the} \mathrm{pressure} \mathrm{changes} \mathrm{with} \mathrm{a} \mathrm{unit} \mathrm{change} \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{amount} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{gas}. \\ \frac{\partial P}{\partial V}=-\frac{nRT}{V^2} \\ \mathrm{This} \mathrm{tells} \mathrm{us} \mathrm{how} \mathrm{fast} \mathrm{the} \mathrm{pressure} \mathrm{changes} \mathrm{with} \mathrm{a} \mathrm{unit} \mathrm{change} \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{gas}. \\ \frac{\partial P}{\partial T}=\frac{nR}{V} \\ \mathrm{This} \mathrm{tells} \mathrm{us} \mathrm{how} \mathrm{fast} \mathrm{the} \mathrm{pressure} \mathrm{changes} \mathrm{with} \mathrm{a} \mathrm{unit} \mathrm{change} \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{temperature} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{gas}. \end{gathered}$$