Q. 6 - Calculus

Question

Let y = f (x). State the definition for the continuity of the function f at a point c in the domain of f .

Step-by-Step Solution

Answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{continuity} \mathrm{or} \mathrm{discontinuity} \mathrm{of} \mathrm{f} \mathrm{at} \mathrm{a} \mathrm{point} \text{'}\mathrm{c}\text{'} \mathrm{can} \mathrm{be} \mathrm{said} \mathrm{only} \mathrm{when} \text{'}\mathrm{c}\text{'} \mathrm{is} \\ \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{domain} \mathrm{of} \mathrm{f} \end{gathered}$$

Step 1. Given information is:

A function y = f(x)

Step 2. Checking continuity of function f

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider} \mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ \mathrm{The} \mathrm{objective} \mathrm{is} \mathrm{to} \mathrm{define} \mathrm{the} \mathrm{continuity} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{function} \mathrm{f} \mathrm{at} \mathrm{a} \mathrm{point} \mathrm{c} \mathrm{in} \\ \mathrm{the} \mathrm{domain} \mathrm{of} \mathrm{f}. \\ \mathrm{Definition}: \\ \mathrm{R} \mathrm{is} \mathrm{the} \mathrm{set} \mathrm{of} \mathrm{real} \mathrm{numbers}. \mathrm{Let} \mathrm{E}\subseteq \mathrm{R}, \mathrm{f}:\mathrm{E}\to \mathrm{R} \mathrm{and} \mathrm{c}\in \mathrm{E}, \mathrm{then} \mathrm{we} \mathrm{say} \mathrm{that} \mathrm{f} \\ \mathrm{is} \mathrm{continuous} \mathrm{at} \mathrm{c} \mathrm{is} \mathrm{given} \mathrm{\epsilon }>0 \mathrm{there} \mathrm{exists} \mathrm{a} \mathrm{\delta }>0 \mathrm{such} \mathrm{that} \left|\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) -\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\right|<\mathrm{\epsilon } \\ \mathrm{whenever} \mathrm{x}\in \mathrm{E} \mathrm{and} \left|\mathrm{x}-\mathrm{c}\right|<\mathrm{\delta }. \\ \mathrm{If} \mathrm{f} \mathrm{is} \mathrm{not} \mathrm{continuous} \mathrm{at} \mathrm{c}, \mathrm{then} \mathrm{we} \mathrm{say} \mathrm{that} \mathrm{f} \mathrm{is} \mathrm{discontinuous} \mathrm{at} \mathrm{c}. \\ \mathrm{Note}: \mathrm{the} \mathrm{continuity} \mathrm{or} \mathrm{discontinuity} \mathrm{of} \mathrm{f} \mathrm{at} \mathrm{a} \mathrm{point} \text{'}\mathrm{c}\text{'} \mathrm{can} \mathrm{be} \mathrm{said} \mathrm{only} \mathrm{when} \text{'}\mathrm{c}\text{'} \mathrm{is} \\ \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{domain} \mathrm{of} \mathrm{f}. \\ \mathrm{For} \mathrm{example}: \\ \mathrm{A} \mathrm{polynomial} \mathrm{function} \mathrm{defined} \mathrm{by} \mathrm{f}:\mathrm{R}\to \mathrm{R} \mathrm{and} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) =-5\mathrm{x}+10 \mathrm{is} \mathrm{continuous} \mathrm{at} \mathrm{every} \\ \mathrm{point} \mathrm{of} \mathrm{R}. \end{gathered}$$