Q. 56 - Calculus

Question

Use the divergence test to prove that a p-series $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^p}$ diverges when p < 0.

Step-by-Step Solution

Answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{expression} \frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}} \mathrm{is} \mathrm{zero} \mathrm{for} \mathrm{values} \mathrm{of} \mathrm{p} \mathrm{which} \mathrm{are} \mathrm{equal} \mathrm{to} \mathrm{or} \mathrm{greater} \mathrm{than} 1. \\ \mathrm{To} \mathrm{make} \mathrm{the} \mathrm{expression} \frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}} \mathrm{non}-\mathrm{zero}, \mathrm{the} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{p} \mathrm{must} \mathrm{be} \mathrm{less} \mathrm{than} 0. \\ \mathrm{Thus}, \mathrm{by} \mathrm{divergence} \mathrm{test}, \mathrm{the} \mathrm{series} \sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}} \mathrm{is} \mathrm{divergent} \mathrm{for} \mathrm{p}<0. \end{gathered}$$

Step 1. Given information is:

$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^p}$

Step 2. Finding the limit:

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{sequence} \left\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right\} = \left\{\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}\right\} \mathrm{is}: \\ \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim } {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}} = \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}} \\ \mathrm{The} \mathrm{expression} \frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}} \mathrm{is} \mathrm{zero} \mathrm{for} \mathrm{values} \mathrm{of} \mathrm{p} \mathrm{which} \mathrm{are} \mathrm{equal} \mathrm{to} \mathrm{or} \mathrm{greater} \mathrm{than} 1. \\ \mathrm{The} \mathrm{series} \sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}} \mathrm{is} \mathrm{divergent} \mathrm{only} \mathrm{when} \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim } {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}} \mathrm{does} \mathrm{not} \mathrm{converge} \mathrm{to} \mathrm{zero}. \end{gathered}$$

Step 3. Result

$$\begin{gathered} \mathrm{To} \mathrm{make} \mathrm{the} \mathrm{expression} \frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}} \mathrm{non}-\mathrm{zero}, \mathrm{the} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{p} \mathrm{must} \mathrm{be} \mathrm{less} \mathrm{than} 0. \\ \mathrm{Thus}, \mathrm{by} \mathrm{divergence} \mathrm{test}, \mathrm{the} \mathrm{series} \sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{1}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}} \mathrm{is} \mathrm{divergent} \mathrm{for} \mathrm{p}<0. \end{gathered}$$