Q. 54 - Calculus

Question

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider} \mathrm{the} \mathrm{region} \mathrm{between} \mathrm{the} \mathrm{graphs} \mathrm{of} \mathrm{f} \left(\mathrm{x}\right) = {(\mathrm{x} - 2)}^2 \mathrm{and} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) = \mathrm{x} \mathrm{on} [1, 4]. \\ \mathrm{For} \mathrm{each} \mathrm{line} \mathrm{of} \mathrm{rotation} \mathrm{given} \mathrm{in} \mathrm{Exercises} 51–54, \mathrm{use} \mathrm{definite} \mathrm{integrals} \mathrm{to} \mathrm{find} \mathrm{the} \\ \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{resulting} \mathrm{solid}. \end{gathered}$$

Step-by-Step Solution

Answer

$\mathrm{The} \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{solid} \mathrm{of} \mathrm{revolution}, \mathrm{V}=\frac{76}{6}\mathrm{\pi }$

Step 1. Given information is:

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{given} \mathrm{region} \mathrm{bounded} \mathrm{by} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = {(\mathrm{x}-2)}^2 \mathrm{and} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x} , \mathrm{between} \mathrm{the} \mathrm{interval} [1,4], \\ \mathrm{is} \mathrm{rotated} \mathrm{around} \mathrm{the} \mathrm{vertical} \mathrm{line}, \mathrm{x}=1. \end{gathered}$$

Step 2. Determining Inverse function

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={(\mathrm{x}-2)}^2 \mathrm{y}={(\mathrm{x}-2)}^2 \mathrm{x}=2+\sqrt{\mathrm{y}} \\ \mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right)=2+\sqrt{\mathrm{y}} \\ \mathrm{Determining} \mathrm{the} \mathrm{inverse} \mathrm{of} \mathrm{other} \mathrm{function} \mathrm{also}, \\ \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x} \\ \mathrm{y}=\mathrm{x} \\ \mathrm{x}=y \\ \mathrm{q}\left(\mathrm{y}\right)=y \end{gathered}$$

Step 3. Determing y-interval

$\mathrm{For} \mathrm{the} \mathrm{x}-\mathrm{interval} \mathrm{of} [1,4], \mathrm{the} \mathrm{corresponding} \mathrm{interval} \mathrm{of} \mathrm{y}-\mathrm{variable} \mathrm{will} \mathrm{be} [0,4]$

Step 4. Two washers

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{region} \mathrm{in} \mathrm{this} \mathrm{figure} \mathrm{will} \mathrm{form} \mathrm{two} \mathrm{types} \mathrm{of} \mathrm{washers} \mathrm{when} \mathrm{rotated} \mathrm{around} \mathrm{y}-\mathrm{axis}. \\ \mathrm{In} \mathrm{the} \mathrm{first} \mathrm{interval} [0,1], \mathrm{the} \mathrm{curve} \mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right) \mathrm{changes} \mathrm{its} \mathrm{direction} \mathrm{at} \mathrm{x}=2 \mathrm{and} \mathrm{creates} \mathrm{both} \\ \mathrm{internal} \mathrm{and} \mathrm{external} \mathrm{radii} \mathrm{of} \mathrm{washer}. \\ \mathrm{To} \mathrm{overcome} \mathrm{this} \mathrm{difficulty}, \mathrm{consider} \mathrm{the} \mathrm{solid} \mathrm{formed} \mathrm{by} \mathrm{rotating} \mathrm{the} \mathrm{region} \mathrm{between} \mathrm{curve} \\ \mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right) \mathrm{and} \mathrm{x}=2 \mathrm{around} \mathrm{y}-\mathrm{axis}. \mathrm{The} \mathrm{required} \mathrm{volume} \mathrm{is} \mathrm{twice} \mathrm{the} \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{this} \mathrm{solid}. \end{gathered}$$

Step 5. Determining Volume of Solid of Revolution

$$\begin{gathered} \mathrm{For} \mathrm{the} \mathrm{washer} \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{y}-\mathrm{interval} \mathrm{of} [0,1], \mathrm{the} \mathrm{external} \mathrm{radius} \mathrm{of} \mathrm{is} \mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right)-1 \mathrm{and} \mathrm{internal} \mathrm{radius} \mathrm{is} 1. \\ \mathrm{The} \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{washer} \mathrm{is} \mathrm{given} \mathrm{by}: \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left({\left(\mathrm{R}\left(\mathrm{y}\right)\right)}^2-{\left(\mathrm{r}\left(\mathrm{y}\right)\right)}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{Using} \mathrm{this} \mathrm{definition} \mathrm{to} \mathrm{determine} \mathrm{the} \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{solid} \mathrm{of} \mathrm{revolution}, \\ \mathrm{V}=2\mathrm{\pi }{\int }_0^1\left({\left(\mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right)-1\right)}^2-{\left(1\right)}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=2\mathrm{\pi }{\int }_0^1\left({\left(2+\sqrt{\mathrm{y}}-1\right)}^2-{\left(1\right)}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=2\mathrm{\pi }{\int }_0^1\left(1+\mathrm{y}+2\sqrt{\mathrm{y}}-1\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=2\mathrm{\pi }{\int }_0^1\left(\mathrm{y}+2\sqrt{\mathrm{y}}\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{For} \mathrm{the} \mathrm{second} \mathrm{washer} \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{y}-\mathrm{interval} \mathrm{of} [1,4], \mathrm{the} \mathrm{external} \mathrm{radius} \mathrm{of} \mathrm{is} \mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right)-1 \mathrm{and} \mathrm{interna}l \\ \mathrm{radius} \mathrm{is} \mathrm{q}\left(\mathrm{y}\right)-1. \\ \mathrm{The} \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{washer} \mathrm{is} \mathrm{given} \mathrm{by}: \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left({\left(\mathrm{R}\left(\mathrm{y}\right)\right)}^2-{\left(\mathrm{r}\left(\mathrm{y}\right)\right)}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{Using} \mathrm{this} \mathrm{definition} \mathrm{to} \mathrm{determine} \mathrm{the} \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{solid} \mathrm{of} \mathrm{revolution}, \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_1^4\left({\left(\mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right)-1\right)}^2-{\left(\mathrm{q}\left(\mathrm{y}\right)-1\right)}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_1^4\left({\left(2+\sqrt{\mathrm{y}}-1\right)}^2-{\left(\mathrm{y}-1\right)}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_1^4\left(1+\mathrm{y}+2\sqrt{\mathrm{y}}-{\mathrm{y}}^2-1+2\mathrm{y}\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_1^4\left(3\mathrm{y}+2\sqrt{\mathrm{y}}-{\mathrm{y}}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{Adding} \mathrm{the} \mathrm{two} \mathrm{integrals} \mathrm{formed} \mathrm{above}: \\ \mathrm{V}=2\mathrm{\pi }{\int }_0^1\left(\mathrm{y}+2\sqrt{\mathrm{y}}\right)\mathrm{dy}+\mathrm{\pi }{\int }_1^4\left(3\mathrm{y}+2\sqrt{\mathrm{y}}-{\mathrm{y}}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=2\mathrm{\pi }{\left[\frac{{\mathrm{y}}^2}{2}+2\frac{{\mathrm{y}}^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}\right]}_0^1+\mathrm{\pi }{\left[\frac{3{\mathrm{y}}^2}{2}+2\frac{{\mathrm{y}}^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}-\frac{{\mathrm{y}}^3}{3}\right]}_1^4 \\ \mathrm{V}=2\mathrm{\pi }\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{4}{3}\right)-\left(0\right)\right]+\mathrm{\pi }\left[\left(24+\frac{32}{3}-\frac{64}{3}\right)-\left(\frac{3}{2}+\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\right)\right] \\ \mathrm{V}=2\mathrm{\pi }\left[\left(\frac{11}{6}\right)\right]+\mathrm{\pi }\left[\left(\frac{65}{6}\right)\right] \\ \mathrm{V}=\frac{76}{6}\mathrm{\pi } \end{gathered}$$