Q. 49 - Calculus

Question

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider} \mathrm{the} \mathrm{region} \mathrm{between} \mathrm{the} \mathrm{graphs} \mathrm{of} \mathrm{f} \left(\mathrm{x}\right) = {\mathrm{x}}^2 \mathrm{and} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) = 2\mathrm{x} \mathrm{on} [0, 2]. \\ \mathrm{For} \mathrm{each} \mathrm{line} \mathrm{of} \mathrm{rotation} \mathrm{given} \mathrm{in} \mathrm{Exercises} 47–50, \mathrm{use} \mathrm{definite} \mathrm{integrals} \mathrm{to} \mathrm{find} \\ \mathrm{the} \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{resulting} \mathrm{solid}. \end{gathered}$$

Step-by-Step Solution

Answer

$\mathrm{The} \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{solid} \mathrm{of} \mathrm{revolution}, \mathrm{V}=\frac{104}{15}\mathrm{\pi }$

Step 1. Given information is:

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{given} \mathrm{region} \mathrm{bounded} \mathrm{by} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = {\mathrm{x}}^2 \mathrm{and} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x} , \mathrm{between} \mathrm{the} \mathrm{interval} [0,2], \\ \mathrm{is} \mathrm{rotated} \mathrm{around} \mathrm{horizontal} \mathrm{line}, \mathrm{y}=-1. \end{gathered}$$

Step 2. Determining Volume of Solid of Revolution

$$\begin{gathered} \mathrm{For} \mathrm{the} \mathrm{washer}, \mathrm{the} \mathrm{external} \mathrm{radius} \mathrm{of} \mathrm{each} \mathrm{washer} \mathrm{is} 1+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{and} \mathrm{internal} \mathrm{radius} \mathrm{of} \\ \mathrm{each} \mathrm{washer} \mathrm{is} \mathrm{given} \mathrm{as} 1+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right). \\ \mathrm{The} \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{washer} \mathrm{is} \mathrm{given} \mathrm{by}: \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left({\left(\mathrm{R}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2-{\left(\mathrm{r}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2\right)\mathrm{dx} \\ \mathrm{Using} \mathrm{this} \mathrm{definition} \mathrm{to} \mathrm{determine} \mathrm{the} \mathrm{volume} \mathrm{of} \mathrm{solid} \mathrm{of} \mathrm{revolution}, \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_0^2\left({\left(1+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2-{\left(1+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2\right)\mathrm{dx} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_0^2\left({\left(1+2\mathrm{x}\right)}^2-{\left(1+{\mathrm{x}}^2\right)}^2\right)\mathrm{dx} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_0^2\left((1+4{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x})-(1+{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^2)\right)\mathrm{dx} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_0^2\left(2{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^4\right)\mathrm{dx} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\left[\frac{2{\mathrm{x}}^3}{3}+\frac{4{\mathrm{x}}^2}{2}-\frac{{\mathrm{x}}^5}{5}\right]}_0^2 \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }\left[\left(\frac{16}{3}+8-\frac{32}{5}\right)-\left(0\right)\right] \\ \mathrm{V}=\frac{104}{15}\mathrm{\pi } \end{gathered}$$