Q. 4 - Calculus

Question

State the Mean Value Theorem, and illustrate the theorem with a graph.

Step-by-Step Solution

Answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{tangent} \mathrm{line} \mathrm{at} \mathrm{point} \mathrm{c} \mathrm{is} \mathrm{parallel} \mathrm{to} \mathrm{the} \mathrm{secant} \mathrm{line} \mathrm{connecting} \mathrm{the} (\mathrm{a},\mathrm{f}(\mathrm{a}\left)\right) \mathrm{and} (\mathrm{b},\mathrm{f}(\mathrm{b}\left)\right). \\ \mathrm{Slope} \mathrm{of} \mathrm{secant} \mathrm{line} \mathrm{is}: \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{c}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{b}-\mathrm{a}} \end{gathered}$$

Step 1. Given information is:

$$\begin{gathered} \mathrm{Point} \mathrm{c} \mathrm{in} (\mathrm{a},\mathrm{b}) \mathrm{such} \mathrm{that} \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{c}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{b}-\mathrm{a}} \end{gathered}$$

Step 2. Graph and Interpretation

$$\begin{gathered} \mathrm{Geometrically}, \mathrm{it} \mathrm{gives} \mathrm{the} \mathrm{relation} \mathrm{between} \mathrm{slope} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{secant} \mathrm{line} \mathrm{and} \mathrm{slope} \mathrm{of} \\ \mathrm{tangent} \mathrm{line}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{tangent} \mathrm{line} \mathrm{at} \mathrm{point} \mathrm{c} \mathrm{is} \mathrm{parallel} \mathrm{to} \mathrm{the} \mathrm{secant} \mathrm{line} \mathrm{connecting} \mathrm{the} (\mathrm{a},\mathrm{f}(\mathrm{a}\left)\right) \mathrm{and} (\mathrm{b},\mathrm{f}(\mathrm{b}\left)\right). \\ \mathrm{Slope} \mathrm{of} \mathrm{secant} \mathrm{line} \mathrm{is}: \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{c}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{b}-\mathrm{a}} \end{gathered}$$