Q. 13 - Calculus

Question

Let 0 < p < 1. Evaluate the limit $\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{1/k \ln k}{1/k^p}$

 Explain why we cannot use a p-series with 0 < p < 1 in a limit comparison test to verify the divergence of the series $\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{k \log k}$

Step-by-Step Solution

Answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{p}-\mathrm{series} \mathrm{is} \mathrm{divergent} \mathrm{for} 0<\mathrm{p}<1. \mathrm{The} \mathrm{limit} \mathrm{comparison} \mathrm{test} \mathrm{if} \mathrm{the} \mathrm{ratio} \mathrm{is} \mathrm{zero} \mathrm{states} \mathrm{that} \mathrm{if} \\ \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}\mathrm{and} \sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}} \mathrm{converges}, \mathrm{then} \sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}} \mathrm{converges} \\ \mathrm{The} \mathrm{limit} \mathrm{comparison} \mathrm{test} \mathrm{fails} \mathrm{to} \mathrm{give} \mathrm{any} \mathrm{information} \mathrm{about} \mathrm{the} \mathrm{divergence} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{series} \\ \sum _{\mathrm{k}=2}^{\infty }\frac{1}{\mathrm{k} \mathrm{lnk}} \end{gathered}$$

Step 1. Given

$\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{k \log k}$

Step 2.Finding the value of the expression

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{expression} \mathrm{is} \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{1/\mathrm{k} \mathrm{lnk}}{1/{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}} \\ \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{1/\mathrm{k} \mathrm{lnk}}{1/{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}=\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}{\mathrm{k} \ln \mathrm{k}} \\ =\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}-1}}{\ln \mathrm{k}} \\ =\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{(\mathrm{p}-1){\mathrm{k}}^{\mathrm{p}-2}}{{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{k}}}}(\mathrm{using}\text{'}\mathrm{s} \mathrm{l} \mathrm{hospital} \mathrm{rule}) \\ =\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{(\mathrm{p}-1)}{{\mathrm{k}}^{1-\mathrm{p}}} \\ =0 \end{gathered}$$

Step 3. Limit comparison test

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{limit} \mathrm{comparison} \mathrm{test} \mathrm{states} \mathrm{that} \mathrm{for} \mathrm{and} \mathrm{be} \mathrm{two} \mathrm{series} \mathrm{with} \mathrm{positive} \mathrm{terms} \mathrm{then} \\ \mathrm{If} \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=\mathrm{L} \mathrm{Where} \mathrm{L} \mathrm{is} \mathrm{any} \mathrm{positive} \mathrm{real} \mathrm{number} \mathrm{then} \mathrm{either} \mathrm{both} \mathrm{converges} \mathrm{or} \mathrm{diverges}. \\ \mathrm{If} \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=0 \mathrm{and} \sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty } {\mathrm{b}}_{\mathrm{k} }\mathrm{converges} \mathrm{then} \sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty } {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}} \mathrm{converges}. \\ \mathrm{If} \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=\infty \mathrm{and} \sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty } {\mathrm{b}}_{\mathrm{k} } \mathrm{diverges} \mathrm{then} \sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty } {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}} \mathrm{diverges}. \end{gathered}$$

Step 4. Result

$$\begin{gathered} \mathrm{The} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{expression} \mathrm{is} \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{1/\mathrm{k} \mathrm{lnk}}{1/{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}=0 \\ \mathrm{The} \mathrm{p}-\mathrm{series} \mathrm{is} \mathrm{divergent} \mathrm{for} 0<\mathrm{p}<1. \mathrm{The} \mathrm{limit} \mathrm{comparison} \mathrm{test} \mathrm{if} \mathrm{the} \mathrm{ratio} \mathrm{is} \mathrm{zero} \mathrm{states} \mathrm{that} \mathrm{if} \\ \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}\mathrm{and} \sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}} \mathrm{converges}, \mathrm{then} \sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}} \mathrm{converges} \\ \mathrm{The} \mathrm{limit} \mathrm{comparison} \mathrm{test} \mathrm{fails} \mathrm{to} \mathrm{give} \mathrm{any} \mathrm{information} \mathrm{about} \mathrm{the} \mathrm{divergence} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{series} \\ \sum _{\mathrm{k}=2}^{\infty }\frac{1}{\mathrm{k} \mathrm{lnk}} \end{gathered}$$