Q. 12 - Calculus

Question

Use your definition from Exercise 11 to show that the directional derivative of a function of a single variable $f\left(x\right)$ at a point $c$ in the direction of $\mathbf{i}$ is, $f^{\text{'}}\left(c\right)$ and that the directional derivative of $f$ at $c$ in the direction of $-\mathrm{i}$ is $-f^{\text{'}}\left(c\right)$.

Step-by-Step Solution

Answer

It shows that, when $\mathbf{u}=-i$ then the value is$D_{\mathrm{u}}f\left(c\right)=-f^{\text{'}}\left(c\right)$

Step 1 : Introduction

$y=f\left(x\right)$ be a single variable function. The derivative of $f\left(x\right)$ at a point $c$ in limit form is given by

                           $f^{\text{'}}\left(c\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(c+h)-f\left(c\right)}{h}$

The direction derivative of $f$ in the direction of the unit vector $\mathbf{u}=\alpha i$ at a point $c$ is given by

                              $D_{u}f\left(c\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(c+\alpha h)-f\left(c\right)}{h}$

 $\mathbf{u}=\mathrm{i}$, then $\alpha =1$

                               $D_{u}f\left(c\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(c+h)-f\left(c\right)}{h}$

$=f^{\text{'}}\left(c\right)[$ From $\left(1\right)]$

                                                 $\mathbf{u}=\mathrm{i}$ 

                                      

                                             $D_{\mathrm{n}}f\left(c\right)=f^{\text{'}}\left(c\right)$

Step 2: Explanation

$\mathbf{u}=-i$Again when $\mathbf{u}=\mathrm{i}$ then $\alpha =-1$-, so

                                    $D_{u}f\left(c\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(c-h)-f\left(c\right)}{h}$

                                        $=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(c+(-h\left)\right)-f\left(c\right)}{h}$

                  

                                                    $\eta =-h$

                                 $D_{u}f\left(c\right)=\underset{\eta \to 0}{\lim }\frac{f(c+\eta )-f\left(c\right)}{(-\eta )}$

                                             $=-\underset{\eta \to 0}{\lim }\frac{f(c+\eta )-f\left(c\right)}{\eta }$

 $=-f^{\text{'}}\left(c\right)[$ From $\left(1\right)]$

                                             $\mathbf{u}=-i$ 

                                         $D_{\mathrm{u}}f\left(c\right)=-f^{\text{'}}\left(c\right)$