Q. 0 - Calculus

Question

Read the section and make your own summary of the material.

Step-by-Step Solution

Answer

1. Mean Value Theorem

2. Signed and Absolute Area

3. Average value of a function

Step 1. Given information is:

We need to prepare a summary

Step 2. Summary

$$\begin{gathered} 1. \mathrm{The} \mathrm{mean} \mathrm{value} \mathrm{theorem} \mathrm{is} \mathrm{defined} \mathrm{to} \mathrm{be} \mathrm{for} \mathrm{c}\in [\mathrm{a},\mathrm{b}]. \\ 2. \mathrm{For} \mathrm{any} \mathrm{integral} \mathrm{function} \mathrm{f} \mathrm{on} \mathrm{the} \mathrm{interval} [\mathrm{a},\mathrm{b}], \\ \mathrm{a}) \mathrm{The} \mathrm{signed} \mathrm{area} \mathrm{between} \mathrm{the} \mathrm{graph} \mathrm{of} \mathrm{f} \mathrm{and} \mathrm{x}-\mathrm{axis} \mathrm{is} \mathrm{given} \mathrm{by} \mathrm{the} \mathrm{definite} \mathrm{integral} {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{x}\left)\mathrm{dx} \\ \mathrm{b}\right) \mathrm{The} \mathrm{absolute} \mathrm{area} \mathrm{between} \mathrm{the} \mathrm{graph} \mathrm{of} \mathrm{f} \mathrm{and} \mathrm{x}-\mathrm{axis} \mathrm{is} \mathrm{given} \mathrm{by} \mathrm{the} \mathrm{definite} \mathrm{integral} {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left|\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right|\mathrm{dx} \\ 3. \mathrm{The} \mathrm{average} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{a} \mathrm{function} \mathrm{on} \mathrm{the} \mathrm{interval} [\mathrm{a},\mathrm{b}] \mathrm{is} \mathrm{defined} \mathrm{to} \mathrm{be} \frac{1}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ 4. \mathrm{The} \mathrm{mean} \mathrm{value} \mathrm{theorem} \mathrm{is} \mathrm{defined} \mathrm{to} \mathrm{be} \mathrm{for} \mathrm{c}\in [\mathrm{a},\mathrm{b}] \mathrm{such} \mathrm{that} \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{c}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{b}-\mathrm{a}} \end{gathered}$$