Problem 7 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

Lösen Sie das folgende Anfangs-Randwertproblem: $$ \begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial t}=4 \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+x+2 \cdot e^{t} \cdot \sin x \cdot \cos x & \text { für } x \in(0, \pi), t>0 \\ u(x, 0)=4 \sin ^{3} x, & \text { für } x \in(0, \pi) \\ u(0, t)=0, \quad u(\pi, t)=\pi \cdot t & \text { für } t>0 \end{array} $$ Hinweis: \(4 \sin ^{3} x=3 \sin x-\sin 3 x, \quad 2 \sin x \cdot \cos x=\sin 2 x\).

Step-by-Step Solution

Answer

Separate variables, solve the homogeneous part, handle non-homogeneous terms, and ensure boundary and initial conditions are satisfied.

Step 1: Rewrite the Initial Condition

Given the initial condition is: \(u(x, 0) = 4 \sin^{3} x\). Using the hint, rewrite it as: \(4 \sin^{3} x = 3 \sin x - \sin 3x\). Hence, \(u(x, 0) = 3 \sin x - \sin 3x\).

Step 2: Analyze Boundary Conditions

The boundary conditions are given as: \(u(0, t) = 0\) and \(u(\pi, t) = \pi t\) for \( t>0 \). This means the solution must satisfy these conditions at the boundaries.

Step 3: Setup the Solution Form

Assume a solution of the form: \(u(x, t) = X(x) T(t)\). Here, \(X(x)\) is a spatial part and \(T(t)\) is a temporal part.

Step 4: Separate Variables in the PDE

Substitute \(u(x, t) = X(x) T(t)\) into the given PDE: \(\frac{\partial u}{\partial t} = 4 \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + x + 2 e^t \sin x \cos x\). This gives: \(X(x) \frac{dT}{dt} = 4 \frac{d^2 X}{dx^2} T(t) + x + 2 e^t \sin x \cos x\).

Step 5: Solve the Homogeneous Equation

Consider the homogeneous part of the equation: \( \frac{dT}{dt} = 4 \frac{d^2 X}{dx^2} T(t) \). Solve the corresponding Sturm-Liouville problem with boundary conditions \(X(0) = 0\), \(X(\pi) = \pi t\) and initial condition \(T(0) = 1\).

Step 6: Integrate Non-homogeneous Terms

The remaining PDE involves non-homogeneous terms \( x + 2 e^t \sin x \cos x\). Decompose this into particular solutions. For term \( x\), solve using method of undetermined coefficients. For term \( 2 e^t \sin 2x\), assume a solution involving exponential and trigonometric functions.

Step 7: Construct Full Solution

Combine the homogeneous and particular solutions to get the general solution of the equation. Ensure all boundary conditions are met and integrate the initial condition \(u(x, 0) = 3 \sin x - \sin 3x\).

Step 8: Verify the Solution

Check if the obtained solution satisfies all given conditions: initial condition, boundary conditions, and the original PDE. Adjust any constants as needed to ensure all conditions are met.

Key Concepts

partielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) sind Gleichungen, die mehrere unabhängige Variablen enthalten. Diese Variablen können räumliche Koordinaten wie x oder y und eine zeitliche Koordinate wie t umfassen. In unserem Fall beschreibt die Gleichung \( \frac{\topartial u}{\topartial t} = 4 \frac{\topartial^2 u}{\topartial x^2} + x + 2 e^t \top sin x \top cos x \) das Verhalten einer Funktion u in Abhängigkeit von x und t. PDEs sind zentral um physikalische Phänomene wie Wärmeleitung, Wellenbewegungen und viele mehr zu modellieren. Die Grundidee ist, eine Funktion zu finden, die sowohl den Differentialgleichungen, als auch den gegebenen Anfangs- und Randbedingungen genügt. Bei der Lösung dieser Gleichung beginnen wir mit dem Separieren der Variablen, um die räumlichen und zeitlichen Abhängigkeiten zu trennen.

Randbedingungen

Randbedingungen (Boundary Conditions) sind wichtige Vorgaben, die die Lösungen von PDEs einschränken. In unserem Problem haben wir die Bedingungen \( u(0, t) = 0 \) und \( u(\topi, t) = \topi t \), die sicherstellen, dass die Lösung u(x, t) an den Grenzen des betrachteten Bereichs korrekt ist. Diese Bedingungen geben konkrete Werte oder Verhältnisse an den Rändern vor und sichern so, dass die physikalische Interpretation des Problems korrekt bleibt. Der Umgang mit diesen Randbedingungen erfordert sorgfältige Aufmerksamkeit, da sie oft die eindeutige Bestimmung der Lösung beeinflussen.

Numerische Methoden

Die numerische Lösung von PDEs ist besonders dann notwendig, wenn analytische Methoden zu umständlich oder unmöglich sind. Techniken wie Finite-Differenzen-Methoden oder Finite-Elemente-Methoden sind verbreitet. Bei der Finite-Differenzen-Methode, die oft für lineare Probleme verwendet wird, ersetzen wir die Differentiale durch Differenzenquotienten. So wird die PDE in ein System von algebraischen Gleichungen umgewandelt, das numerisch lösbar ist. Dennoch muss man den Fehler und die Stabilität der numerischen Methoden sorgfältig überwachen, um exakte und zuverlässige Ergebnisse zu garantieren.

Sturm-Liouville-Problem

Ein besonderes Problem innerhalb der Theorie der PDEs ist das Sturm-Liouville-Problem. Es ist eine spezielle Art von Eigenwertproblemen für Differentialgleichungen und sieht oft wie folgt aus: \( \frac{d}{dx}\top\top\bigg[ p(x) \frac{dX}{dx} \bigg] + \top[\top\top(\top\toptop x) - \top\top\toptop \top X = 0 \). Diese Probleme enthalten Eigenwerte und Eigenfunktionen, die spezielle Lösungen bieten. Sie sind besonders nützlich, weil sie dabei helfen, Lösungen komplizierterer Probleme durch Reihenentwicklungen und andere mathematische Werkzeuge zu finden. In unserem Fall haben wir dieses Konzept verwendet, um die räumliche Komponente \( X(x) \) und die zeitliche Komponente \( T(t) \) der gegebenen PDE zu trennen, was einen großen Schritt zur Bestimmung der Gesamtlösung darstellte.