Problem 6 - Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure

Question

Die Lebensdauer eines Bauteils (in Stunden) lasse sich durch eine exponentialverteilte Zufallsvariable \(T\) mit \(\lambda=\frac{1}{200}\) angemessen beschreiben. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Bauteil eine Lebensdauer von mehr als 100 Stunden hat?b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Bauteil, falls es nach einer Betriebsdauer von 300 Stunden noch intakt ist, innerhalb der nächsten 100 Stunden ausfällt? c) Die Wahrscheinlichkeit für eine Lebensdauer von mindestens 200 Stunden betrage \(30 \%\). Welchen Wert muss für den Parameter \(\lambda\) gewählt werden, damit die Verteilung von \(T\) dieser Bedingung genügt? d) Nun sei wieder \(\lambda=\frac{1}{200}\) - Welchen Zeitpunkt \(t\) überlebt ein Bauteil dieser Sorte mit \(50 \%\) Sicherheit? ( \(t\) heißt anch Halbwertzeit.)

Step-by-Step Solution

Answer

a) 0.6065; b) 0.6065; c) 0.006; d) 138.63 hours.

Step 1 Title - Understand the given parameters

The lifespan of a component is modeled by an exponentially distributed random variable \(T\) with parameter \( \lambda = \frac{1}{200} \).

Step 2 Title - Calculate the probability for more than 100 hours (a)

Use the exponential distribution's survival function, which is given by \( P(T > t) = e^{- \lambda t} \). Substituting the given values, \( P(T > 100) = e^{-\frac{1}{200} \times 100} = e^{-0.5} \approx 0.6065 \).

Step 3 Title - Determine the conditional probability for part (b)

Given the system has already lasted 300 hours, use the memoryless property of exponential distributions: \( P(T > 400 \mid T > 300) = P(T > 100) = e^{-0.5} \approx 0.6065 \).

Step 4 Title - Solve for lambda in part (c)

Given \( P(T \geq 200) = 0.3 \), use the survival function: \( P(T > 200) = e^{-200\lambda} \). Set up the equation: \( e^{-200\lambda} = 0.3 \). Solve for \( \lambda \): \( -200\lambda = \ln(0.3) \). Therefore, \( \lambda = -\frac{\ln(0.3)}{200} \approx 0.006 \).

Step 5 Title - Determine the median time (d)

Set \( P(T \geq t) = 0.5 \). Use \( P(T > t) = e^{-\frac{t}{200}} \): \( e^{-\frac{t}{200}} = 0.5 \), \( -\frac{t}{200} = \ln(0.5) \). Thus, \( t = -200 \ln(0.5) \approx 138.63 \text{ hours} \).

Key Concepts

Exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung ist eine wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die häufig zur Modellierung der Zeit zwischen unabhängigen Ereignissen verwendet wird. Mathematisch definiert durch die Dichtefunktion \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) für \(x ≥ 0\) und \(\lambda > 0\), beschreibt diese Verteilung eine Situation, in der die Rate des Eintretens eines Ereignisses konstant ist.

Ein Beispiel: Wenn wir die Lebensdauer eines Bauteils als exponentialverteilt mit einem Parameter von \(\lambda=\frac{1}{200}\) annehmen, bedeutet dies, dass das Bauteil eine durchschnittliche Lebensdauer von 200 Stunden hat.

Hier sind einige nützliche Eigenschaften der Exponentialverteilung:

• Sie ist gedächtnislos, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses unabhängig von der bislang vergangenen Zeit ist.
• Die Verteilungsfunktion, auch als kumulative Verteilungsfunktion (cdf) bekannt, ist \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\), und die Überlebensfunktion (1 - cdf) ist \(e^{-\lambda x}\).

Lebensdauermodellierung

Die Modellierung der Lebensdauer eines Produkts oder einer Komponente ist in vielen Bereichen wichtig, wie z.B. in der Ingenieurwissenschaft und im Qualitätsmanagement. Wenn wir die Exponentialverteilung verwenden, nehmen wir an, dass die Zeit bis zum Ausfall eines Bauteils zufällig mit einer konstanten Ausfallrate \(\lambda\) erfolgt.

Dies ist besonders nützlich für Bauteile, bei denen die Ausfallrate nicht von der bisherigen Betriebszeit abhängt. Hier sind einige Beispiele für Lebensdauerprobleme:

• Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil länger als eine bestimmte Zeit funktionsfähig bleibt.
• Bestimmen der notwendigen Auslegungsparameter für eine bestimmte Zuverlässigkeit.
• Schätzen der erwarteten Lebensdauer basierend auf der Ausfallrate.

Im obigen Beispiel bedeutet \(\lambda=\frac{1}{200}\), dass das Bauteil eine Ausfallrate von 0,005 pro Stunde hat.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein grundlegendes Werkzeug zur Analyse von Zufallsereignissen und Stochastik. In der Exponentialverteilung verwenden wir Formeln, um Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Zeiträume zu berechnen.

Betrachten Sie das Beispiel, in dem wir die Wahrscheinlichkeit berechnen müssen, dass ein Bauteil mehr als 100 Stunden funktioniert:

Wir verwenden die Überlebensfunktion: \(P(T > 100) = e^{-\frac{1}{200} \times 100} = e^{-0.5}\), was ungefähr 0,6065 entspricht. Dies bedeutet, dass es etwa 60,65% Wahrscheinlichkeit gibt, dass das Bauteil länger als 100 Stunden hält.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten können auch berechnet werden. Beispielsweise gibt es nach 300 Stunden immer noch eine Wahrscheinlichkeit von etwa 60,65 %, dass das Bauteil weitere 100 Stunden hält, dank der Gedächtnislosigkeits-Eigenschaft der Exponentialverteilung.

Halbwertszeit

Die Halbwertszeit ist eine wichtige Kenngröße in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, insbesondere für exponentialverteilte Zufallsvariablen. Sie gibt die Zeit an, nach der eine zufällige Variable mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % noch intakt ist.

Für die Exponentialverteilung berechnen wir die Halbwertszeit \(t\), indem wir die Überlebensfunktion bei 50 % ansetzen: \(e^{-\frac{t}{200}}= 0.5\).

Lösen wir die Gleichung nach \(t\) auf, erhalten wir:

\[t = -200 \ln(0.5) ≈ 138.63 \text{ Stunden}ewline\]Das bedeutet, dass unser Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % länger als 138,63 Stunden funktionsfähig bleibt.

Dieses Konzept wird häufig in der Physik und Ingenieurwissenschaft genutzt, um die Zuverlässigkeit und Lebensdauer von Produkten und Materialien abzuschätzen.