Problem 3
Question
Wir beziehen uns auf die Differentialgleichung in Beispiel (10). Für \(r=0\) und \(\frac{k}{m}=9\) wird eine reibungsfreie Schwingung des Federpendels beschrieben; die Differentialgleichung lautet nun: $$ \ddot{x}+9 \cdot x=0 $$ a) Zeigen Sie, dass alle Funktionen der Form $$ x(t)=c_{1} \cdot \cos 3 t+c_{2} \cdot \sin 3 t, \quad c_{1}, c_{2} \in \mathbb{R} $$ Lösungen dieser Schwingungsgleichung sind. b) Bestimmen Sie diejenige Lösung, die die Anfangsbedingungen \(x(0)=2, \dot{x}(0)=0\) erfüllt.
Step-by-Step Solution
Verified Answer
The specific solution is \(x(t) = 2 \cos 3t\).
1Step 1: Verify that the given function satisfies the differential equation
For the function \(x(t) = c_1 \cos 3t + c_2 \sin 3t\), compute the first and second derivatives: \( \dot{x}(t) = -3c_1 \sin 3t + 3c_2 \cos 3t \) \( \ddot{x}(t) = -9c_1 \cos 3t - 9c_2 \sin 3t \). Substitute \(x(t)\) and \(\ddot{x}(t)\) into the differential equation \( \ddot{x} + 9x = 0 \): \( -9c_1 \cos 3t - 9c_2 \sin 3t + 9(c_1 \cos 3t + c_2 \sin 3t) = 0 \). Simplify: \( -9c_1 \cos 3t - 9c_2 \sin 3t + 9c_1 \cos 3t + 9c_2 \sin 3t = 0 \). Since the equation holds true, \(x(t) = c_1 \cos 3t + c_2 \sin 3t\) is a solution.
2Step 2: Apply initial conditions
Use the initial conditions \(x(0) = 2\) and \(\dot{x}(0) = 0\) to find the specific solution. First, substitute \(t = 0\) into \(x(t) = c_1 \cos 3t + c_2 \sin 3t\): \( x(0) = c_1 \cos 0 + c_2 \sin 0 \Rightarrow 2 = c_1(1) + c_2(0) \Rightarrow c_1 = 2 \). Next, use the initial condition \( \dot{x}(0) = 0 \): \( \dot{x}(0) = -3c_1 \sin 0 + 3c_2 \cos 0 \Rightarrow 0 = -3c_2 \Rightarrow c_2 = 0 \).
3Step 3: Write the specific solution
Substitute the values of \(c_1\) and \(c_2\) back into the general solution: \( x(t) = 2 \cos 3t + 0 \sin 3t \Rightarrow x(t) = 2 \cos 3t \).
Key Concepts
Schwingungsfreie SystemeAnfangsbedingungenTrigonometrische FunktionenLösungen linearer Differentialgleichungen
Schwingungsfreie Systeme
Schwingungsfreie Systeme sind Systeme ohne Dämpfung. In diesen Systemen treten keine Reibungsverluste auf. Das bedeutet, dass die Gesamtenergie in Form von kinetischer und potenzieller Energie erhalten bleibt.
Für die Differentialgleichung \(\ddot{x} + 9x = 0\) beschreibt diese ein schwingungsfreies System. Diese Gleichung entsteht aus der Balance zwischen der Rückstellkraft einer Feder und der Trägheit einer Masse auf einer reibungsfreien Fläche.
Wichtig ist, dass die Lösungen solcher Schwingungsgleichungen periodische Funktionen wie Sinus und Cosinus enthalten.
Für die Differentialgleichung \(\ddot{x} + 9x = 0\) beschreibt diese ein schwingungsfreies System. Diese Gleichung entsteht aus der Balance zwischen der Rückstellkraft einer Feder und der Trägheit einer Masse auf einer reibungsfreien Fläche.
Wichtig ist, dass die Lösungen solcher Schwingungsgleichungen periodische Funktionen wie Sinus und Cosinus enthalten.
Anfangsbedingungen
Anfangsbedingungen sind spezifische Werte für die Funktion und ihre Ableitung zu einem bestimmten Zeitpunkt, die genutzt werden, um eine eindeutige Lösung zu finden.
In der gestellten Aufgabe lauten die Anfangsbedingungen: \(x(0) = 2\) und \(\dot{x}(0) = 0\).
Um die Anfangsbedingungen anzuwenden, setzen wir \(t = 0\) in die allgemeine Lösung \(x(t) = c_1 \cos 3t + c_2 \sin 3t\) ein und lösen die resultierenden Gleichungen für die Konstanten \(c_1\) und \(c_2\).
Das bedeutet: \(2 = c_1 \) und \(0 = 3c_2\), somit ist \(c_1 = 2\) und \(c_2 = 0\).
In der gestellten Aufgabe lauten die Anfangsbedingungen: \(x(0) = 2\) und \(\dot{x}(0) = 0\).
Um die Anfangsbedingungen anzuwenden, setzen wir \(t = 0\) in die allgemeine Lösung \(x(t) = c_1 \cos 3t + c_2 \sin 3t\) ein und lösen die resultierenden Gleichungen für die Konstanten \(c_1\) und \(c_2\).
Das bedeutet: \(2 = c_1 \) und \(0 = 3c_2\), somit ist \(c_1 = 2\) und \(c_2 = 0\).
Trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen wie Sinus \(\text{sin}\) und Kosinus \(\text{cos}\) spielen eine zentrale Rolle bei der Lösung von Differentialgleichungen, insbesondere bei schwingungsfreien Systemen.
Für die Differentialgleichung \(\ddot{x} + 9x = 0\) sind Lösungen der Form \(x(t) = c_1 \cos 3t + c_2 \sin 3t\) besonders nützlich, weil diese Funktionen periodische Bewegungen beschreiben.
Dabei sind \( \cos 3t\) und \( \sin 3t\) die Grundlösungen, die jeder Schwingung zugrunde liegen. In der allgemeinen Lösung stellen die Konstanten \(c_1\) und \(c_2\) Amplituden dar, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden.
Für die Differentialgleichung \(\ddot{x} + 9x = 0\) sind Lösungen der Form \(x(t) = c_1 \cos 3t + c_2 \sin 3t\) besonders nützlich, weil diese Funktionen periodische Bewegungen beschreiben.
Dabei sind \( \cos 3t\) und \( \sin 3t\) die Grundlösungen, die jeder Schwingung zugrunde liegen. In der allgemeinen Lösung stellen die Konstanten \(c_1\) und \(c_2\) Amplituden dar, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden.
Lösungen linearer Differentialgleichungen
Lineare Differentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen nur in der ersten Potenz vorkommen. Eine homogene lineare Differentialgleichung der Form \(\ddot{x} + kx = 0\) hat Lösungen, die sich mit Hilfe bekannter Funktionen wie \( \cos \) und \( \sin \) darstellen lassen.
In der Aufgabe \(\ddot{x} + 9x = 0\) verwendet man die allgemeine Lösung \(x(t) = c_1 \cos 3t + c_2 \sin 3t\), um die spezifische Lösung mit den gegebenen Anfangsbedingungen zu finden.
Eine solche Lösung beinhaltet die folgenden Schritte:
In der Aufgabe \(\ddot{x} + 9x = 0\) verwendet man die allgemeine Lösung \(x(t) = c_1 \cos 3t + c_2 \sin 3t\), um die spezifische Lösung mit den gegebenen Anfangsbedingungen zu finden.
Eine solche Lösung beinhaltet die folgenden Schritte:
- Bestimmen der ersten und zweiten Ableitung der Lösung.
- Einsetzen dieser Ableitungen in die ursprüngliche Differentialgleichung.
- Validieren, dass die Gleichung erfüllt ist.
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